Question

【題目】已知：點 A(4，0)，點 B 是 y 軸正半軸上一點，如圖 1，以 AB 為直角邊作等腰直角三角形 ABC ABC 90．

（1）若 AC 6，求點B 的坐標；

（2）當點B 坐標為(0，1)時，求點C 的坐標；

（3）如圖 2，以 OB 為直角邊作等腰直角△OBD，點D在第一象限，連接CD交 y 軸于點E．在點 B 運動的過程中，BE 的長是否發生變化？若不變，求出 BE 的長；若變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，） （2）（-1，-3） （3）BE長保持不變，BE的長為2

【解析】

（1）根據AC的長求出AB的長，再用勾股定理求B點坐標.

（2）過C作CM⊥y軸于M，通過判定△BCM≌△ABO（AAS），得出CM=BO=1，BM=AO=4，進而得到OM=3，據此可得C（-1，-3）；
（3）過C作CM⊥y軸于M，根據△BCM≌△ABO，可得CM=BO，BM=OA=4，再判定△DBE≌△CME（AAS），可得BE=EM，進而得到BE=BM=2．

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC 6

∴2AB2=36

∴AB=

設B點坐標為（0，a）(a>0)

在直角三角形AOB中，A(4，0)

∴16+a2=18

∴a=

∴B點的坐標為（0，）

（2）如圖1，過C作CM⊥y軸于M．

∵CM⊥y軸，
∴∠BMC=∠AOB=90°，
∴∠ABO+∠BAO=90°
∵∠ABC=90°，
∴∠CBM+∠ABO=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM與△ABO中，

，
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴CM=BO=1，BM=AO=4，
∴OM=3，
∴C（-1，-3）；

（3）在B點運動過程中，BE長保持不變，BE的長為2，
理由：如圖2，過C作CM⊥y軸于M，

由（1）可知：△BCM≌△ABO，
∴CM=BO，BM=OA=4．
∵△BDO是等腰直角三角形，
∴BO=BD，∠DBO=90°，
∴CM=BD，∠DBE=∠CME=90°，
在△DBE與△CME中，

，
∴△DBE≌△CME（AAS），
∴BE=EM，
∴BE=BM=2．