Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，與BC相交于點F，過點B作BE⊥AD于點D，交AC延長線于點E，過點C作CH⊥AB于點H，交AF于點G，則下列結論：⑤；正確的有（ ）個.

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①②正確，只要證明△BCE≌△ACF，△ADB≌△ADE即可解決問題；

③正確，只要證明GB=GA，得到△BDG是等腰直角三角形，即可得到；

④正確，求出∠CGF=67.5°=∠CFG，則CF=CG=CE，然后AE=AC+CE=BC+CG，即可得到結論；

⑤錯誤，作GM⊥AC于M．利用角平分線的性質定理即可證明；

解：∵AD⊥BE，

∴∠FDB=∠FCA=90°，

∵∠BFD=∠AFC，

∴∠DBF=∠FAC，

∵∠BCE=∠ACF=90°，BC=AC，

∴△BCE≌△ACF，

∴EC=CF，AF=BE，故①正確，

∵∠DAB=∠DAE，AD=AD，∠ADB=∠ADE=90°，

∴△ADB≌△ADE，

∴BD=DE，

∴AF=BE=2BD，故②正確，

如圖，連接BG，

∵CH⊥AB，AC=AB，

∴BH=AH，∠BHG=∠AHG=90°

∵HG=HG，

∴△AGH≌△BGH，

∴BG=AG，∠GAH=∠GBH=22.5°，

∴∠DGB=∠GAH+∠GBH=45°，

∴△BDG是等腰直角三角形，

∴BD=DG=DE；故③正確；

由△ACH是等腰直角三角形，

∴∠ACG=45°，

∴∠CGF=45°+22.5°=67.5°，

∵∠CFG=∠DFB=90°-22.5°=67.5°，

∴∠CGF=∠CFG，

∴CG=CF，

∵AB=AE，BC=AC，CE=CF=CG，

又∵AE=AC+CE，

∴AB=BC+CG，故④正確；

作GM⊥AC于M，

由角平分線性質，GH=GM，

∴△AGH≌△AGM（HL），

∴△AGH的面積與△AGM的面積相等，

故⑤錯誤；

綜合上述，正確的結論有：①②③④；

故選擇：D.