Question

3．已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB′C′的位置，連結(jié)BC′，求BC′的長．

Answer 1

分析 連接BB′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB=AB′，判斷出△ABB′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BB′，延長BC′交AB′于D，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)求出BD、C′D，然后根據(jù)BC′=BD-C′D計(jì)算即可得解．

解答 解：如圖，連結(jié)BB′，
∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB′C′．
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等邊三角形，
∴AB=BB′=AB′，
延長BC′交AB′于點(diǎn)D，
又∵AC′=B′C′，
∴BD垂直平分AB′，
∴AD=B′D，
∵∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴AB′=2
∴AD=B′D=1，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，C′D=$\sqrt{AC{′}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴BC′=BD-C′D=$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．