Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長為5，點E在邊AB上，AE=3，延長DA至點F，使AF=AE，連結EF．將△AEF繞點A順時針旋轉（0°＜＜90°），如圖2所示，連結DE、BF．

（1）請直接寫出DE的取值范圍：_______________________；

（2）試探究DE與BF的數量關系和位置關系，并說明理由；

（3）當DE=4時，求四邊形EBCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）DE的取值范圍：2＜DE＜；（2）DE=BF，DE⊥BF，理由詳見解析；（3）當DE=4時，四邊形EBCD的面積為14.5．

【解析】

（1）根據點E在AB邊上和在AD邊上時DE分別為最大值和最小值解答即可；（2）延長DE，交AB于點G，交BF于點H，易得∠EAD=∠FAB，根據SAS可證明△EAD≌△FAB，即可得DE=BF，∠ADE=∠ABF，根據∠AGD=∠BGH，∠ADE+∠AGD=90°可得∠ABF+∠BGH=90°進而可得∠BHG=90° 即DE⊥BF；（3）由AE=3，DE=4，AD=5可得△AED是直角三角形，由（2）得△EAD≌△FAB，可知∠AFB=∠AED=90°，BF=DE=4，，由∠EAF=90°可得AE//BF，進而可求出四邊形ABEF得面積，根據 即可得答案.

（1）∵點E在AB邊上和在AD邊上時DE分別為最大值和最小值，

∴，5-3=2，

∴DE的取值范圍：2＜DE＜；

（2）DE=BF，DE⊥BF，理由如下：

延長DE，交AB于點G，交BF于點H

∵∠BAD=∠FAE=90°

即∠BAE+∠EAD=∠BAE+∠FAB=90°

∴∠EAD=∠FAB

在△EAD和△FAB中

∴△EAD≌△FAB

∴DE=BF，∠ADE=∠ABF

又∵∠AGD=∠BGH，∠ADE+∠AGD=90°

∴∠ABF+∠BGH=90°

∴∠BHG=90° 即DE⊥BF

（3）∵AE=3，DE=4，AD=5

∴

∴△ADE為直角三角形，∠AED=90°

由（2）得△EAD≌△FAB

∴∠AFB=∠AED=90°，BF=DE=4，

又∵∠EAF=90°

∴AE∥BF

∴四邊形AEBF的面積為：==10.5

∴=10.5

∴ 52-10.5=14.5

答：當DE=4時，四邊形EBCD的面積為14.5．