Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D為BC的中點，AB =DE，BE∥AC．

（1）求證：△ABC≌△DEB；

（2）連結AD、AE、CE，如圖2．

①求證：CE是∠ACB的角平分線；

②請判斷△ABE是什么特殊形狀的三角形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②△ABE是等腰三角形，理由詳見解析.

【解析】

（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=BC，D是BC中點可得AC=BD，利用HL即可證明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性質可得∠BCE=45°，進而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根據SAS可證明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可證明△ABE是等腰三角形.

（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC

∴∠CBE=90°

∴△ABC和△DEB都是直角三角形

∵AC=BC，點D為BC的中點

∴AC=BD

又∵AB=DE

∴△ABC≌△DEB（H.L.）

（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB

∴BC=EB

又∵∠CBE=90°

∴∠BCE=45°

∴∠ACE=90°-45°=45°

∴∠BCE=∠ACE

∴CE是∠ACB的角平分線

②△ABE是等腰三角形，理由如下：

在△ACE和△DCE中

∴△ACE≌△DCE（SAS）.

∴AE=DE

又∵AB=DE

∴AE=AB

∴△ABE是等腰三角形