Question

【題目】如圖，在中，，以AB為直徑的圓交AC于點D，交BC于點E，延長AE至點F，使，連接FB，FC．

求證：四邊形ABFC是菱形；

若，，求半圓和菱形ABFC的面積．

只用一把無刻度的直尺，作出菱形AB上的高CH．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．（3）見解析.

【解析】

（1）先根據等腰三角形三線合一得出CE=BE，再根據對角線相互平分的四邊形是平行四邊形，證明是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；
（2）設CD=x，連接BD．利用勾股定理構建方程即可解決問題；
（3）如圖，設BD交AE于K，作直線CK交AB于H．根據三角形的高相交于一點可得線段CH即為所求．

證明：是直徑，

，

，

，

，

，

四邊形ABFC是平行四邊形，

，

四邊形ABFC是菱形．

設連接BD．

是直徑，

，

，

，

解得或舍棄

，，

．

．

如圖，設BD交AE于K，作直線CK交AB于

是直徑，

，

三角形的高相交于一點

線段CH即為所求．