Question

【題目】如圖，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（8，6），A、C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=m，已知點(diǎn)D在第一象限，且是兩直線y1=2x+6、y2=2x﹣6中某條上的一點(diǎn)，若△APD是等腰Rt△，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為

Answer 1

【答案】（4，2），（4，14），（ ， ），（ ， ）
【解析】解：易知：A（0，6），C（8，0），AB=8，OA=BC=6；
則點(diǎn)A正好位于直線y=2x+6上；
1）當(dāng)點(diǎn)D位于直線y=2x+6上時(shí)，分三種情況：
①點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，結(jié)合圖形，顯然此時(shí)點(diǎn)D位于第四象限，不合題意；
②點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，那么∠DAP=45°，結(jié)合圖形2可知：∠DAB＞45°，
而點(diǎn)P位于線段BC上，故不存在這樣的等腰直角三角形；
③點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，如圖；
過(guò)D作DE⊥y軸于E，則△ADE≌△APB，得：AE=AB=8；
即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為：14，代入y=2x+6中，可求得
點(diǎn)D（4，14）；
2）當(dāng)點(diǎn)D位于直線y=2x﹣6上時(shí)，分三種情況：
①點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，結(jié)合圖形可知，此種情況顯然不合題意；
②點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)，分兩種情況：
a、點(diǎn)D在矩形AOCB的內(nèi)部時(shí)，過(guò)D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，設(shè)D（x，2x﹣6）；
則OE=2x﹣6，AE=6﹣（2x﹣6）=12﹣2x，DF=EF﹣DE=8﹣x；
則△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：
12﹣2x=8﹣x，x=4；
∴D（4，2）；
b、點(diǎn)D在矩形AOCB的外部時(shí)，設(shè)D（x，2x﹣6）；
則OE=2x﹣6，AE=OE﹣OA=2x﹣6﹣6=2x﹣12，DF=EF﹣DE=8﹣x；
同1可知：△ADE≌△DPFAE=DF，即：
2x﹣12=8﹣x，x= ；
∴D（ ， ）；
③點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，顯然此時(shí)點(diǎn)D位于矩形AOCB的外部；
設(shè)點(diǎn)D（x，2x﹣6），則CF=2x﹣6，BF=2x﹣6﹣6=2x﹣12；
易證得△APB≌△PDF，得：
AB=PF=8，PB=DF=x﹣8；
故BF=PF﹣PB=8﹣（x﹣8）=16﹣x；
聯(lián)立兩個(gè)表示BF的式子可得：
2x﹣12=16﹣x，即x= ；
∴D（ ， ）；
綜合上面六種情況可得：存在符合條件的等腰直角三角形；
且D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（4，2），（4，14），（ ， ），（ ， ）．