Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，如圖1，直角三角板△MON中，OM=ON=，OQ=1，直線l過點N和點N，拋物線y=ax2+x+c過點Q和點N．

（1）求出該拋物線的解析式；

（2）已知點P是拋物線y=ax2+x+c上的一個動點．

①初步嘗試

若點P在y軸右側的該拋物線上，如圖2，過點P作PA⊥y軸于點A，問：是否存在點P，使得以N、P、A為頂點的三角形與△ONQ相似．若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

②深入探究

若點P在第一象限的該拋物線上，如圖3，連結PQ，與直線MN交于點G，以QG為直徑的圓交QN于點H，交x軸于點R，連結HR，求線段HR的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+（2）①（1，）、（3，0）、（5，﹣4）②

【解析】

（1）根據待定系數法可求拋物線解析式；

（2）①分三種情況，情況一：點P在第一象限時，△APN∽△ONQ，情況二：點P恰好在x軸上，情況三：P在第四象限內，進行討論可求出點P的坐標；

②連結CH和CR，得到HR最小時，只需要半徑最小，即直徑最小即可．用面積法求出QG=，進一步得到HR最小值．

（1）由題意可知，Q（﹣1，0），N（0，），

∴c=，即y=ax2+x+，

將Q（﹣1，0）代入解析式得0=a﹣+，解得a=﹣，

∴拋物線解析式是y=﹣x2+x+；

（2）①分三種情況，如圖2，

情況一：點P在第一象限時，△APN∽△ONQ，

設AN=m，則AP=m，

則P的坐標（m，m+），

而點P在拋物線上，代入可得m+=﹣（m）2++（m）+，

解得m=，

∴P1（1，）；

情況二：點P恰好在x軸上，P2（3，0），

情況三：P在第四象限內，同情況一方法可解得

P3（5，﹣4），

②連結CH和CR，如圖3，

∵∠NQ0=60°，

∴∠HCR=120°，

∵CH=CR，

∴HR=CH，

∴HR最小時，只需要半徑最小，即直徑最小即可，

∴過Q作NM的垂線，垂直時，QG最小，

∴用面積法求出，QG=，

HR最小值=．