Question

【題目】設二次函數y＝ax2+bx﹣（a﹣b）（a，b是常數，a≠0）

（1）判斷該二次函數圖象與x軸交點的個數，并說明理由；

（2）若該二次函數的圖象經過A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三個點中的其中兩個點，求該二次函數的表達式；

（3）若a﹣b＜0，點P（﹣2，m）（m＞0）在該二次函數圖象上，求證：a＞0．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y＝x2+x﹣1；（3）詳見解析.

【解析】

（1）根據一元二次方程根的判別式分析解答即可；

（2）根據題意先判斷拋物線經過點B和點C，然后代入建立二元一次方程組求解可得a和b的值，從而可得二次函數解析式；

（3）把點P代入二次函數解析式，然后根據題意m＞0，a-b＜0，可求證a＞0.

解：（1）∵△＝b2﹣4a[﹣（a﹣b）]＝b2﹣4ab+4a2＝（2a﹣b）2，

當2a＝b時，二次函數圖象與x軸只有一個交點，

當2a≠b時，二次函數圖象與x軸有兩個交點；

（2）當x＝﹣1時，y＝a﹣b﹣（a﹣b）＝0，

∴拋物線經過（﹣1，0）和B（0，﹣1），C（1，1），不經過點A（﹣1，4），

把B（0，﹣1），C（1，1）分別代入得：，

解得 ，

∴拋物線解析式為y＝x2+x﹣1；

（3）證明：∵點P（﹣2，m）（m＞0）在該二次函數圖象上，

∴m＝a（﹣2）2+（﹣2）b﹣（a﹣b）＝3a﹣b，

∵m＞0，

∴3a﹣b＞0，

∵a﹣b＜0，

∴（3a﹣b）﹣（a﹣b）＞0，

2a＞0，

∴a＞0．