Question

（9分）如圖，在中，AC、BD交于點O，∠ABC=60°,AB=1,E、F分別是線段BO、DO上不與點O重合的點，且BE=DF．

小題1:（1）探究：當BC的長為多少時，四邊形AECF是菱形？并說明理由．
小題2:（2）當四邊形AECF是正文形時，求DF的長．

Answer 1

小題1:（1）當BC=1時，四邊形AECF是菱形.理由如下：………………（1分）
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，………………（2分）
∵BE=DF，
∴OB―BE=OD―DF，
即OE=OF，……………………（3分）
∴四邊形AECF是平行四邊形，……（4分）
當BC=AB=1時，平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
即AC⊥EF，∴平行四邊形AECF是菱形.
小題2:（2）由于正方形是特殊的菱形，由（1）知，此時四邊形ABCD和AECF均為菱形.
∵∠ABC=60°，AB=1，AC⊥BD，
∴△ADC和△ABC均為等邊三角形，且AO=CO=，BO=DO=.………（8分）
當四邊形AECF是正方形時，EO=FO=AO=CO=，
∴DF=DO－FO=－=

略