Question

如圖，一條直線與反比例函數的圖象交于A（1，4）．B（4，n）兩點，與軸交于D點，AC⊥軸，垂足為C．
小題1:如圖甲，①求反比例函數的解析式；②求n的值及D點坐標.（4分）
小題2:如圖乙，若點E在線段AD上運動，連結CE，作∠CEF=45°，EF交AC于F點．
①試說明△CDE∽△EAF的理由. （4分）
②當△ECF為等腰三角形時，直接寫出F點坐標． （4分）

Answer 1

小題1:①∵點A（1，4）在反比例函數圖象上
∴k=4
即反比例函數關系式為 ；
②∵點B（4，n）在反比例函數圖象上
∴n=1
設一次函數的解析式為y=mx+b
∵點A（1，4）和B（4，1）在一次函數y=mx+b的圖象上
∴ m+b="4" 4m+b=1 解得 m="-1" b=5  
∴一次函數關系式為y=-x+5
令y=0，得x=5
∴D點坐標為D（5，0）；  （4分）
小題2:①證明：∵A（1，4），D（5，0），AC⊥x軸
∴C（1，0）
∴AC=CD=4，
即∠ADC=∠CAD=45°，
∵∠AEC=∠ECD+∠ADC=∠ECD+45°，
∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠AEF+45°，
∴∠ECD=∠AEF，
△CDE和△EAF的兩角對應相等，
∴△CDE∽△EAF．                        （4分）
②當CE=FE時，由△CDE≌△EAF可得AE=CD=4，DE=AF=，
∵A（1，4），
∴F點的縱坐標=4-AF=4-=
∴F﹙1，﹚
當CE=CF時，由∠FEC=45°知∠ACE=90°，此時E與D重合，
∴F與A重合，
∴F（1，4）
當CF=EF時，由∠FEC=45°知∠CFE=90°，顯然F為AC中點，
∴F（1，2）
當△ECF為等腰三角形時，點F的坐標為F1(1，2)；F2(1，4)；F3(1， ) （4分）

略