Question

【題目】如圖，已知⊙O的半徑為2，AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點M，將弧CD沿著CD翻折后，點A與圓心O重合，延長OA至P，使AP=OA，鏈接PC。

（1）求CD的長；

（2）求證：PC是⊙O的切線；

（3）點G為弧ADB的中點，在PC延長線上有一動點Q，連接QG交AB于點E，交弧BC于點F（F與B、C不重合）。問GEGF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）2；（2）證明過程見解析；（3）定值為8．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據折疊圖形的性質得出OM=1，根據勾股定理的性質得出CD的長度；（2）首先根據勾股定理求出PC的長度，然后根據勾股定理的逆定理得出切線；（3）連接GA、AF、GB，根據題意得出△AGE與△FGA相似，從而得出GE·GF=，然后根據等腰直角三角形的性質得出答案．

試題解析：（1）如答圖1，連接OC ∵沿CD翻折后，A與O重合 ∴OM=OA=1，CD⊥OA

∵OC=2 ∴CD=2CM=2=2

（2）∵PA=OA=2,AM=OM=1,CM= 又∵CMP=∠OMC=90° ∴PC==2

∵OC=2,PO=4 ∴ ∴∠PCO=90° ∴PC與☉O相切

（3）GE·GF為定值，理由如下： 如答圖2，連接GA、AF、GB ∵G為中點 ∴

∴∠BAG=∠AFG ∵∠AGE=∠FGA ∴△AGE∽△FGA ∴

∴GE·GF= ∵AB為直徑，AB=4 ∴∠BAG=∠ABG=45° ∴AG=2 ∴GE·GF==8