Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F為AB的中點，DE，AB相交于點G，若∠BAC=30⁰，下列結論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為平行四邊形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA.其中正確結論的序號是：（▲）


A、②④            B、①③    
C、②③④          D、①②③④       

Answer 1

D

∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正確，
（含①的只有B和D，它們的區別在于有沒有④．它們都是含30°的直角三角形，并且斜邊是相等的），
∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），故④正確．
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，故②正確；
∴AG= AF，
∴AG=AB，
∵AD=AB，
則AD=AG，故③，
故選D．