Question

如圖（1），拋物線y=ax²-3ax+b經過A（-1，0），C（3，-4）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線L：y=kx+1（k≠0）將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分，求直線L的解析式；
（3）如圖（2），過點E（1，1）作EF⊥x軸于點F，將△AEF繞平面內某點旋轉180°后得△MNT（點M、N、T分別與點A，E，F對應），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²-3ax+b過A（-1，0）、C（3，-4），
∴0=a+3a+b，-4=9a-9a+b．
解得a=1，b=-4，
∴拋物線解析式y=x²-3x-4．

（2）如圖1，過點C作CH⊥AB于點H，
由y=x²-3x-4得B（4，0）、D（0，-4）．
又∵A（-1，0），C（3，-4），
∴CD∥AB．
由拋物線的對稱性得四邊形ABCD是等腰梯形，
∴S_△AOD=S_△BHC．
設矩形ODCH的對稱中心為P，則P（

3

2

，-2）．
由矩形的中心對稱性知：過P點任一直線將它的面積平分．
∴過P點且與CD相交的任一直線將梯形ABCD的面積平分．
當直線y=kx+1經過點P時，
得-2=

3

2

k+1
∴k=-2．
∴當k=-2時，直線y=-2x+1將四邊形ABCD面積二等分．

（3）如圖2，由題意知，四邊形AEMN為平行四邊形，
∴AN∥EM且AN=EM．
∵E（1，1）、A（-1，0），
∴設M（m，n），則N（m-2，n-1）
∵M、N在拋物線上，
∴n=m²-3m-4，n-1=（m-2）²-3（m-2）-4，
解得m=

11

4

，n=-

75

16

．
∴M（

11

4

，-

75

16

），N（

3

4

，-

91

16

）