Question

如圖，對稱軸為直線x=

7

2

的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．
（1）求拋物線解析式及頂點坐標；
（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
①當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？
②是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）因為拋物線的對稱軸是x=

7

2

，
設解析式為y=a（x-

7

2

）²+k．
把A，B兩點坐標代入上式，得

a(6- 7 2 )2+k=0 a(0- 7 2 )2+k=4

，
解得a=

2

3

，k=-

25

6

．
故拋物線解析式為y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，頂點為（

7

2

，-

25

6

）．

（2）∵點E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點E到OA的距離．
∵OA是OEAF的對角線，
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

×OA•|y|=-6y=-4（x-

7

2

）²+25．
因為拋物線與x軸的兩個交點是（1，0）和（6，0），
所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．
①根據題意，當S=24時，即-4（x-

7

2

）²+25=24．
化簡，得（x-

7

2

）²=

1

4

．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的點E有兩個，
分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
點E₁（3，-4）滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF是菱形；
點E₂（4，-4）不滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF不是菱形；
②當OA⊥EF，且OA=EF時，平行四邊形OEAF是正方形，
此時點E的坐標只能是（3，-3），
而坐標為（3，-3）的點不在拋物線上，
故不存在這樣的點E，使平行四邊形OEAF為正方形．