Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，3)，點(diǎn)A、C在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)P在BC邊上，直線11：y=2x+3，直線12：y=2x﹣3．

（1）分別求直線11與x軸、直線12與AB的交點(diǎn)D和E的坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)M在矩形ABCD內(nèi)部，且是直線12上的點(diǎn)，若△APM是等腰直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）我們把直線11和直線12上的點(diǎn)所組成的圖形稱為圖形F．已知矩形ANPQ的頂點(diǎn)N在圖形F上，且在AP的上方，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍(不必說(shuō)明理由)．

Answer 1

【答案】（1）(，0)，(3，3)；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)；（3）0＜x或x．

【解析】

（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分三種情況：①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限；②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限；③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限；進(jìn)行討論，再看點(diǎn)M是否在矩形ABCD內(nèi)部，即可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)和N在AP的上方，可求N點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

（1）直線l1：當(dāng)y=0時(shí)，2x+3=0，x，

則直線l1與x軸坐標(biāo)為(，0)

直線l2：當(dāng)y=3時(shí)，2x﹣3=3，x=3

則直線l2與AB的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，3)；

（2）①若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限，連結(jié)AC，如圖1所示：

∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴點(diǎn)M不存在；

②若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限，如圖2所示：

過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

則∠PNM=∠ABP=90°，∠BAP=∠NPM，

在△ABP和△PNM中，，∴△ABP≌△PNM(AAS)，∴AB=PN=4，MN=BP，

設(shè)M(x，2x﹣3)，則MN=x﹣4，∴2x﹣3=4+3﹣(x﹣4)，

x，∴M(，)，

點(diǎn)M在第一象限，但不在矩形ABCD內(nèi)部，不合題意舍去；

③若點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M在第一象限，如圖3所示：

設(shè)M1(x，2x﹣3)，

過(guò)點(diǎn)M1作M1G1⊥OA，交BC于點(diǎn)H1，

同理：△AM1G1≌△PM1H1(AAS)，

∴AG1=M1H1=3﹣(2x﹣3)，

∴x+3﹣(2x﹣3)=4，

x=2，∴M1(2，1)；

設(shè)M2(x，2x﹣3)，

同理可得x+2x﹣3﹣3=4，∴x，

∴M2(，)，

點(diǎn)M2在第一象限，但不在矩形ABCD內(nèi)部，不合題意舍去；

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)；

（3）當(dāng)點(diǎn)N在直線l2上時(shí)．

∵點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為x，

∴N(x，2x﹣3)，

當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，P(4，3)，

過(guò)N作NH⊥AB于H，則△NHG是直角三角形，如圖4所示：

∴AP的中點(diǎn)G坐標(biāo)為(2，3)．

∵四邊形ANPQ是矩形，

∴∠ANB=90°，

∴NGAP=2，

∴(x﹣2)2+(2x﹣3﹣3)2=4，

∴x(點(diǎn)N在AB上方的橫坐標(biāo))或x=2(點(diǎn)N在AP下方的橫坐標(biāo)，不合題意舍去)，

當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)C重合時(shí)，連接NG'，過(guò)N作NH⊥G'H于H，

則△NHG'是直角三角形，如圖5所示：

P(4，0)，AP的中點(diǎn)G'坐標(biāo)為(2，)，

同理：NG'AP，

∴(x﹣2)2+(2x﹣3)2，

∴x(點(diǎn)N在AB上方構(gòu)成的四邊形是矩形的橫坐標(biāo))或x(點(diǎn)N在AP下方構(gòu)成的四邊形是矩形的橫坐標(biāo)，不合題意舍去)，

∴x，

當(dāng)點(diǎn)N在l1上時(shí)，

點(diǎn)P和點(diǎn)B重合時(shí)，連接NG，過(guò)N作NH⊥AB于H，

則△NHG是直角三角形，如圖6所示：

同理：(2﹣x)2+x2=4，

解得：x，∴0＜x，

當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)C重合時(shí)，N在AP的下方，不合題意，∴x的取值范圍為：0＜x或x．