Question

【題目】閱讀下列一段文字，然后回答下列問題.

已知在平面內有兩點P1 x1，y1 ，P1 x2，y2 其兩點間的距離P1P2 = ，同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可化簡為|x2 x1|或|y2 y1|.

(1)已知 A (1，4)、B (-3，5)，試求 A.、B兩點間的距離；

(2)已知 A、B在平行于 y軸的直線上，點 A的縱坐標為-8，點 B的縱坐標為-1，試求 A、B兩點的距 離；

(3)已知一個三角形各頂點坐標為 D(1，6)、E(-2，2)、F(4，2)，你能判定此三角形的形狀嗎?說明理由：

(4)在(3)的條件下，平面直角坐標系中，在 x軸上找一點 P，使 PD+PF的長度最短，求出點 P的坐 標以及 PD+PF的最短長度.

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）AB=7；（3）△DEF為等腰三角形．理由見解析；（4）PD+PF的長度最短時點P的坐標為（，0），此時PD+PF的最短長度為．

【解析】

（1）直接利用兩點間的距離公式計算；

（2）根據平行于y軸的直線上所有點的橫坐標相同，所以A、B間的距離為兩點的縱坐標之差的絕對值；

（3）先利用兩點間的距離公式計算出DE、EF、DF，然后根據等腰三角形的定義可判斷△DEF為等腰三角形；

（4）找出F關于x軸的對稱點F′，連接DF′，與x軸交于P點，此時PD+PF最短，設直線DF′的解析式為y=kx+b，將D與F′的坐標代入求出k與b的值，確定出直線DF′解析式，令y=0求出x的值，確定出P坐標，由D與F′坐標，利用兩點間的距離公式求出DF′的長，即為PD+PF的最短長度．

（1）∵A (1，4)、B (-3，5)，

∴AB=；

（2）∵A、B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為-8，點B的縱坐標為-1，

∴AB=-1-（-8）=7；

（3）△DEF為等腰三角形．理由如下：

D（1，6）、E（-2，2）、F（4，2），

∴DE==5，EF=4-（-2）=6，DF==5，

∴DE=DF，

∴△DEF為等腰三角形；

（4）作F關于x軸的對稱點F′，連接DF′，與x軸交于點P，此時DP+PF最短，

設直線DF′解析式為y=kx+b，

將D（1，6），F′（4，-2）代入得：，

解得：，

∴直線DF′解析式為y=-x+，

令y=0，得：x=，即P（，0），

∵PF=PF′，

∴PD+PF=DP+PF′=DF′==，

則PD+PF的長度最短時點P的坐標為（，0），此時PD+PF的最短長度為．