Question

【題目】閱讀理解：如圖1，在正多邊形A1A2A3…An的邊A2A3上任取一不與點(diǎn)A2重合的點(diǎn)B2，并以線段A1B2為邊在線段A1A2的上方作以正多邊形A1B2B3…Bn，把正多邊形A1B2B3…Bn叫正多邊形A1A2…An的準(zhǔn)位似圖形，點(diǎn)A3稱為準(zhǔn)位似中心．

特例論證：（1）如圖2已知正三角形A1A2A3的準(zhǔn)位似圖形為正三角形A1B2B3，試證明：隨著點(diǎn)B2的運(yùn)動(dòng)，∠B3A3A1的大小始終不變．

數(shù)學(xué)思考：（2）如圖3已知正方形A1A2A3A4的準(zhǔn)位似圖形為正方形A1B2B3B4，隨著點(diǎn)B2的運(yùn)動(dòng)，∠B3A3A4的大小始終不變？若不變，請求出∠B3A3A4的大小；若改變，請說明理由．

歸納猜想：（3）在圖（1）的情況下：①試猜想∠B3A3A4的大小是否會(huì)發(fā)生改變？若不改變，請用含n的代數(shù)式表示出∠B3A3A4的大小（直接寫出結(jié)果）；若改變，請說明理由．②∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1=　 　（用含n的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不變，45°；（3）①不變，，②

【解析】

（1）先判斷出△A2A1B2≌△A3A1B3，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出△A3B2B3≌△DA1B2，再利用正方形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）①先判斷出△A3B2B3≌△DA1B2，再利用正多邊形的邊相等和每個(gè)內(nèi)角即可得出結(jié)論；②利用①的結(jié)論和方法即可得出結(jié)論．

解：（1）證明：∵△A1A2A3與△A1B2B3是正三角形，

∴A1A2=A1A3，A1B2=A1B3，∠A2A1A3=∠B2A1B3=60°，

∴∠A2A1B2=∠A3A1B3，

∴△A2A1B2≌△A3A1B3，

∴∠B3A3A1=∠A2=60°，

∴∠B3A3A1的大小不變；

（2）∠B3A3A4的大小不變，

理由：如圖，在邊A1A2上取一點(diǎn)D，使A1D=A3B2，連接B2D，

∵四邊形A1A2A3A4與A1B2B3B4是正方形，

∴A1B2=B2B3，∠A1B2B3=∠A1A2A3=90°，

∴∠A3B2B3+∠A1B2A2=90°，∠A2A1B2+∠A1B2A2=90°，

∴∠A3B2B3=∠A2A1B2，

∴△A3B2B3≌△DA1B2，

∴∠B2A3B3=∠A1DB2，

∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，

∴A2B2=A2D，

∵∠A1A2A3=90°，

∴△DA2B2是等腰直角三角形，

∴∠A1DB2=135°，

∴∠B2A3B3=135°，

∵∠A4A3A2=90°，

∴∠B3A3A4=45°，

即：∠B3A3A4的大小始終不變；

（3）①∠B3A3B4的大小始終不變，理由：如圖1，

在A1A2上取一點(diǎn)D，使A1D=A3B2，

連接B2D，

∵∠A2A1B2=180°﹣∠A1B2A2，∠A3B2B3=180°﹣∠A1B2A2，

∴∠A2A1B2=∠A3B2B3，

∵A1B2=B2B3，

∴△A3B2B3≌△DA1B2，

∴∠B2A3B3=A1DB2，

∵A1A2=A2A3，A1D=A3B2，

∴A2D=A2B2，

∴∠A1DB2==90°﹣

∴∠B3A3A4=∠A1DB2﹣∠B2A3A4=90°﹣﹣=；

②由①知，∠B3A3A4=，

同①的方法可得，∠B4A4A5=×2，∠B5A5A6=×3，…，∠BnAnA1=×（n﹣2），

∴①∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1

=+×2+×3+…×（n﹣2）=，

故答案為：．