Question

【題目】已知是的外接圓，是的直徑，過的中點作的直徑交弦于點，連接、、.

（1）如圖1，若點是線段的中點，求的度數；

（2）如圖2，在上取一點，使，求證：；

（3）如圖3，取的中點，連接并延長交于點，連接和交于點，若，且，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據垂徑定理可得是的垂直平分線，又由點是線段的中點，可得是的垂直平分線，進而得出為等邊三角形，由直徑所對的圓周角是直角，可在Rt△ABC中根據角的運算即可求出結果.

（2）根據內錯角相等，兩直線平行可得，由得出邊角相等，進而得出，得出四邊形是平行四邊形，得到.

（3）由點是中點，得出是中位線，如圖所示構造輔助線，根據已知條件，運用勾股定理列出方程，解出方程.

（1）解：連接

∵點是中點

∴

又∵

∴是的垂直平分線

又∵是中點

∴是的垂直平分線

∴

又∵

∴為等邊三角形

∴

∵是直徑

∴

∴

（2）證明：連接

由（1）可知

∵

∴

∴

∴

同理可知

∴

∴

∴

∴

∴四邊形是平行四邊形

∴

（3）由（1）可知點是中點

∵點是中點

∴是中位線

即

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

延長交于點，連接，連接并延長交于點，連接和，延長和相交于點.

∵

∴

∵是的直徑

∴

∴

∴

過點作，垂足為，過點作，垂足為，

設則，，，，，，

∴

∵是的中位線

∴

在中

在中設，，，

在中，

在中解得（舍去）

，

∵

∴

∴

在中，，，

在中