Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線AP交x軸于點P（p，0），交y軸于點A（0，a），且a、b滿足

a+3

+(p+1)2=0．
（1）求直線AP的解析式；
（2）如圖1，點P關于y軸的對稱點為Q，R（0，2），點S在直線AQ上，且SR=SA，求直線RS的解析式和點S的坐標；
（3）如圖2，點B（-2，b）為直線AP上一點，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABC，點C在第一象限，D為線段OP上一動點，連接DC，以DC為直角邊，點D為直角頂點作等腰三角形DCE，EF⊥x軸，F為垂足，下列結論：①2DP+EF的值不變；②

AO-EF

2DP

的值不變；其中只有一個結論正確，請你選擇出正確的結論，并求出其定值．

Answer 1

分析：（1）根據非負數的性質列式求出a、p的值，從而得到點A、P的坐標，然后利用待定系數法求直線的解析式；
（2）根據關于y軸的點的對稱求出點Q的坐標，再利用待定系數法求出直線AQ的解析式，設出點S的坐標，然后利用兩點間的距離公式列式進行計算即可求出點S的坐標，再利用待定系數法求解直線RS的解析式；
（3）根據點B的橫坐標為-2，可知點P為AB的中點，然后求出點B得到坐標，連接PC，過點C作CG⊥x軸于點G，利用角角邊證明△APO與△PCG全等，根據全等三角形對應邊相等可得PG=AO，CG=PO，再根據△DCE是等腰直角三角形，利用角角邊證明△CDG與△EDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得DG=EF，然后用EF表示出DP的長度，然后代入兩個結論進行計算即可找出正確的結論并得到定值．

解答：解：（1）根據題意得，a+3=0，p+1=0，
解得a=-3，p=-1，
∴點A、P的坐標分別為A（0，-3）、P（-1，0），
設直線AP的解析式為y=mx+n，
則

n=-3 -m+n=0

，
解得

m=-3 n=-3

，
∴直線AP的解析式為y=-3x-3；

（2）根據題意，點Q的坐標為（1，0），
設直線AQ的解析式為y=kx+c，
則

c=-3 k+c=0

，
解得

k=3 c=-3

，
∴直線AQ的解析式為y=3x-3，
設點S的坐標為（x，3x-3），
則SR=

(x-0)2+(3x-3-2)2

=

x2+(3x-5)2

，
SA=

(0-x)2+(-3-3x+3)2

=

x2+9x2

，
∵SR=SA，
∴

x2+(3x-5)2

=

x2+9x2

，
解得x=

5

6

，
∴3x-3=3×

5

6

-3=-

1

2

，
∴點S的坐標為S（

5

6

，-

1

2

），
設直線RS的解析式為y=ex+f，
則

f=2 5 6 e+f=- 1 2

，
解得

e=-3 f=2

，
∴直線RS的解析式為y=-3x+2；

（3）∵點B（-2，b），
∴點P為AB的中點，
連接PC，過點C作CG⊥x軸于點G，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴PC=PA=

1

2

AB，PC⊥AP，
∴∠CPG+∠APO=90°，∠APO+∠PAO=90°，
∴∠CPG=∠PAO，
在△APO與△PCG中，

∠CPG=∠PAO ∠AOP=∠PGC=90° PC=AP

，
∴△APO≌△PCG（AAS），
∴PG=AO=3，CG=PO，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=DE，∠CDG+∠EDF=90°，
又∵EF⊥x軸，
∴∠DEF+∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠DEF，
在△CDG與△EDF中，

∠CDG=∠DEF ∠EFD=∠CGD=90° CD=DE

，
∴△CDG≌△EDF（AAS），
∴DG=EF，
∴DP=PG-DG=3-EF，
①2DP+EF=2（3-EF）+EF=6-EF，
∴2DP+EF的值隨點P的變化而變化，不是定值，
②

AO-EF

2DP

=

3-EF

2(3-EF)

=

1

2

，

AO-EF

2DP

的值與點D的變化無關，是定值

1

2

．

點評：本題綜合考查了一次函數的問題，待定系數法求直線解析式，非負數的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及關于y軸對稱的點的坐標的特點，綜合性較強，難度較大，需仔細分析找準問題的突破口．