Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C在y軸的正半軸，且∠CAB=30°．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）若直線l：y= x+m從點(diǎn)C開始沿y軸向下平移，分別交x軸、y軸于點(diǎn)D、E．
①當(dāng)m＞0時(shí)，在線段AC上否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P，D，E構(gòu)成等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
②以動(dòng)直線l為對(duì)稱軸，線段AC關(guān)于直線l的對(duì)稱線段A′C′與二次函數(shù)圖象有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連結(jié)AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，

∵A（﹣3，0），即OA=3，

∴OC= ，即C（0， ），

設(shè)拋物線解析式為 ，

將A（﹣3，0），B（1，0）代入得 ．

解得 ．

∴

（2）

解：由題意可知，OE=m，OD= ，∠DEO=30°，

（i）如圖2，當(dāng)PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸

∴∠PQD=∠EOD=90°，

∠PDQ+∠EDO=90°，∠EDO+∠DEO=90°，

∴∠DEO=∠PDQ=30°，

在△DPQ與△EDO中，

，

∴△DPQ≌△EDO（AAS），

∴DQ=OE=m，

∵∠PAQ=∠PDQ=30°，

∴PA=PD，

∴AQ=DQ=m，

∴OA=2m+ =3，

∴ ；

（ii）如圖3，當(dāng)PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸，

同理可得CQ=EQ=OD= ，

∴OC=m+ = ，

∴ ；

（iii）如圖4，當(dāng)DP⊥PE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC，

同理可得AP=AD= ，PN=DM= ，CN=

∴AC= + + = ，

∴ ；

②當(dāng)x=0，y= 時(shí)， =0+m，解得m= ；

當(dāng)x=0，y=﹣ 時(shí)，﹣ =0+m，解得m=﹣ ．

故m的取值范圍為：

【解析】（1）如圖1，連結(jié)AC，在Rt△AOC中，∠CAB=30°，根據(jù)三角函數(shù)可得C（0， ），根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線解析式；（2）①由題意可知，OE=m，OD= ，∠DEO=30°，根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)分三種情況：（i）如圖2，當(dāng)PD⊥DE，DP=DE，作PQ⊥x軸；（ii）如圖3，當(dāng)PE⊥DE，PE=DE，作PQ⊥y軸；（iii）如圖4，當(dāng)DP⊥DE，DP=PE，作DM⊥AC，EN⊥AC；進(jìn)行討論可求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②動(dòng)直線l與直線AC的交點(diǎn)為C和動(dòng)直線l與y軸的交點(diǎn)在x軸下面，并且與前面的直線平行，可求m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小．