Question

【題目】如圖1，AB為⊙O的直徑，AC與⊙O相切于點A，BC與⊙O交于點D，點F是直徑AB下方半圓上一點（不與A，B重合），連接DF，交AB于點E，

（1）求證：∠C＝∠F；

（2）如圖2，若DF＝DB，連接AF．

①求證：∠FAE＝2∠AFE；

②作BH⊥FD于點G，與AF交于點H．若AH＝2HF，CD＝1，求BG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②

【解析】

（1）利用等角的余角相等以及圓周角定理即可解決問題．
（2）①如圖2中，連接DO，延長DO交BF于K．想辦法證明AF∥DK，利用等腰三角形的性質證明∠FDB=2∠AFD即可解決問題．
②如圖2中，設DK交BH于J，連接JF．首先證明四邊形AFJD是平行四邊形，推出，設GH=m，GJ=3m，則JH=JF=JB=4m，推出GF==m，由∠C=∠BFG，推出tanC=tan∠BFG===，求出AD即可解決問題．

解：（1）證明：如圖1中，

∵AC是切線，
∴AB⊥AC，
∴∠CAB=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠C+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠C=∠DAB，
∵∠DAB=∠F，
∴∠C=∠F．

（2）①證明：如圖2中，連接DO，延長DO交BF于K．

∵DF=DB，

∴，

∴DK⊥BF，
∴∠FDK=∠BDK，
∵AB是直徑，
∴∠AFB=∠DKB=90°，
∴DK∥AF，
∴∠AFD=∠FDK，
∴∠FDB=2∠AFD，
∵∠EAF=∠FDB，
∴∠EAF=2∠BDF．

②解：如圖2中，設DK交BH于J，連接JF．
∵DF=DB，DK⊥FB，
∴FK=BK，
∴JF=JB，
∴∠JFB=∠JBF，
∵∠JFB+∠JFH=90°，∠JBF+∠BHF=90°，
∴∠JFH=∠JHF，
∵DK⊥BF，BG⊥DF，
∴FJ⊥DB，
∵AD⊥BD，
∴AD∥FJ，
∵AF∥DJ，
∴四邊形AFJD是平行四邊形，
∵AH=2FH，
∴可以假設HF=a，AH=2a，
∴DJ=AF=3a，
∵FH∥DJ，

∴，設GH=m，GJ=3m，則JH=JF=JB=4m，

∴GF==m，

∵∠C=∠BFG，
∴tanC=tan∠BFG===，

∴=，

∵CD=1，
∴AD=FJ=BJ=，

∴4m=

∴m=，

∴BG=7m=.