Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，對稱軸與軸交于點，點在拋物線上.

（1）求直線的解析式.

（2）點為直線下方拋物線上的一點，連接，.當的面積最大時，連接，，點是線段的中點，點是線段上的一點，點是線段上的一點，求的最小值.

（3）點是線段的中點，將拋物線與軸正方向平移得到新拋物線，經過點，的頂點為點，在新拋物線的對稱軸上，是否存在點，使得為等腰三角形?若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）存在，點Q的坐標為或或或.

【解析】

（1）求出點A、B、E的坐標，設直線的解析式為，將點A和點E的坐標代入即可；

（2）先求出直線CE解析式，過點P作軸，交CE與點F，設點P的坐標為，則點F，從而可表示出△EPC的面積，利用二次函數性質可求出x的值，從而得到點P的坐標，作點K關于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M，當點O、N、M、H在一條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH，利用勾股定理求出GH即可；

(3)由平移后的拋物線經過點D，可得到點F的坐標，利用中點坐標公式可求得點G的坐標，然后分為三種情況討論求解即可.

解：（1）

當時，

設直線的解析式為，將點A和點E的坐標代入得

解得

所以直線的解析式為.

（2）設直線CE的解析式為，將點E的坐標代入得:

解得:

直線CE的解析式為

如圖，過點P作軸，交CE與點F

設點P的坐標為，則點F

則FP＝

∴當時，△EPC的面積最大，

此時

如圖2所示:作點K關于CD和CP的對稱點G、H，連接G、H交CD和CP與N、M

K是CB的中點，

OD＝1，OC＝3

K是BC的中點，∠OCB＝60°

點O與點K關于CD對稱

點G與點O重合

∴點G(0，0)

點H與點K關于CP對稱

∴點H的坐標為

當點O、N、M、H在條直線上時，KM+MN+NK有最小值，最小值＝GH

的最小值為3.

（3）如圖

經過點D，的頂點為點F

∴點

點G為CE的中點，

當FG＝FQ時，點或

當GF＝GQ時，點F與點關于直線對稱

點

當QG＝QF時，設點的坐標為

由兩點間的距離公式可得：，解得

點的坐標為

綜上所述，點Q的坐標為或或或