Question

【題目】如圖，是的直徑，點在上，，垂足為，，分別交延長線于點．

（1）過點作直線，使得，判斷直線與的位置關系，并說理．

（2）若，，求的長．

（3）連接，探索線段與間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線與相切，理由詳見解析；（2） ；（3），證明詳見解析．

【解析】

（1）連接OA，根據得到，由BC是直徑，，得到，推出，利用得到，推出，即可得到直線與相切的結論；

（2）過點A作AM⊥BG于M，根據得到∠ACB=∠ABE，證得△AMB∽△BAC，得到，利用勾股定理求出BC=5，即可求出，再證明△ABM∽△GBA，求出BG=；

（3）在上截取，連接．證明，得到，由得到，推出.

（1）解：直線與相切，

理由：連接OA，

∵，

∴，

∵BC是直徑，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴直線與相切．

（2）過點A作AM⊥BG于M，

∵，

∴∠ACB=∠ABE，

∵∠BAC=∠AMB=90°，

∴△AMB∽△BAC，

∴，

∵∠BAC=90°，，，

∴BC=5，

∴，

∴，

∵∠BAC=∠AMB=90°，∠ABM=∠GBA，

∴△ABM∽△GBA，

∴，

∴，

∴BG=；

（3）．

理由：在上截取，連接．

∵ ，

∴，

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴.