Question

【題目】已知射線AB∥射線CD，P為一動點，AE平分∠PAB，CE平分∠PCD，且AE與CE相交于點E．
（1）在圖1中，當點P運動到線段AC上時，∠APC=180°． ①直接寫出∠AEC的度數；②求證：∠AEC=∠EAB+∠ECD；
（2）當點P運動到圖2的位置時，猜想∠AEC與∠APC之間的關系，并加以說明；
（3）當點P運動到圖3的位置時，（2）中的結論是否還成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出∠AEC與∠APC之間的關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵AB∥CD，

∴∠PAB+∠PCD=180°，

∴∠AEC=90°；

②證明：在圖1中，過E作EF∥AB，則∠AEF=∠EAB．

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠CEF=∠ECD．

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD．

（2）解：猜想：∠AEC= ∠APC，理由如下：

∵AE、CE分別平分∠PAB和∠PCD，

∴∠EAB= ∠PAB，∠ECD= ∠PCD．

由（1）知∠AEC=∠EAB+∠ECD，∠APC=∠PAB+∠PCD，

∴∠AEC= ∠PAB+ ∠PCD= （∠PAB+∠PCD）= ∠APC．

（3）解：在圖3中，（2）中的結論不成立，而是滿足∠AEC=180°﹣ ∠APC，

其證明過程是：

過P作PQ∥AB，則∠PAB+∠APQ=180°．

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠CPQ+∠PCD=180°．

∴∠PAB+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°，即∠PAB+∠PCD=360°﹣∠APC．

∵AE、CE分別平分∠PAB和∠PCD，

∴∠EAB= ∠PAB，∠ECD= ∠PCD．

由（1）知∠AEC=∠EAB+∠ECD，

∴∠AEC= ∠PAB+ ∠PCD= （∠PAB+∠PCD）= （360°﹣∠APC）=180°﹣ ∠APC．

【解析】（1）①由平行線的性質可得出∠PAB+∠PCD=180°，進而可得出∠AEC的度數； ②在圖1中，過E作EF∥AB，根據平行線的性質可得出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD，進而即可證出∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD；（2）猜想：∠AEC= ∠APC，由角平分線的定義可得出∠EAB= ∠PAB、∠ECD= ∠PCD，由（1）可知∠AEC=∠EAB+∠ECD、∠APC=∠PAB+∠PCD，進而即可得出∠AEC= （∠PAB+∠PCD）= ∠APC；（3）在圖3中，（2）中的結論不成立，而是滿足∠AEC=180°﹣ ∠APC，過P作PQ∥AB，由平行線的性質可得出∠PAB+∠APQ=180°、∠CPQ+∠PCD=180°，進而可得出∠PAB+∠PCD=360°﹣∠APC，再由角平分線的定義可得出∠EAB= ∠PAB、∠ECD= ∠PCD，結合（1）的結論即可證出∠AEC=180°﹣ ∠APC．
【考點精析】掌握平行線的判定與性質是解答本題的根本，需要知道由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質．