Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，CD=6，點E在邊CD上，且CD=3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連結AG、CF．

（1）求證：①△ABG≌△AFG； ②求GC的長；

（2）求△FGC的面積．

Answer 1

【答案】（1）①證明詳見解析；②3；（2）．

【解析】試題分析：（1）①利用翻折變換對應邊關系得出AB=AF，∠B=∠AFG=90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；

②利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，進而求出BG即可；

（2）首先過C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面積法得，CM=2.4，進而得出答案

解：（1）①在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，

∵將△ADE沿AE對折至△AFE，

∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，

∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，

又∵AG=AG，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴△ABG≌△AFG（HL）；

②∵CD=3DE

∴DE=2，CE=4，

設BG=x，則CG=6﹣x，GE=x+2

∵GE2=CG2+CE2

∴（x+2）2=（6﹣x）2+42，

解得x=3，

∴CG=6﹣3=3；

（2）如圖，過C作CM⊥GF于M，

∵BG=GF=3，

∴CG=3，EC=6﹣2=4，

∴GE==5，

CMGE=GCEC，

∴CM×5=3×4，

∴CM=2.4，

∴S△FGC=GF×CM=×3×2.4=3.6．