Question

【題目】已知：如圖1，OM是∠AOB的平分線，點C在OM上，OC＝5，且點C到OA的距離為3．過點C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，易得到結論：OD+OE＝_________；

（1）把圖1中的∠DCE繞點C旋轉，當CD與OA不垂直時（如圖2），上述結論是否成立？并說明理由；

（2）把圖1中的∠DCE繞點C旋轉，當CD與OA的反向延長線相交于點D時：

①請在圖3中畫出圖形；

②上述結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請直接寫出線段OD、OE之間的數量關系，不需證明．

Answer 1

【答案】8;(1)上述結論成立;(2)①見詳解;②上述結論不成立，.

【解析】

先利用勾股定理求出OD，再利用角平分線定理得出DE=CD，即可得出結論；

(1)先判斷出∠DCQ=∠ECP，進而判斷出△CQD≌△CPE，得出DQ=PE，即可得出結論；
(2)①依題意即可補全圖形；
②先判斷出∠DCQ=∠ECP，進而判斷出△CQD≌△CPE，得出DQ=PE，即可得出結論．

解：∵，∴，

在中，，，

∴ ，

∵點是的平分線上的點，

∴，同理，，

∴，

故答案為8；

（1）上述結論成立.

理由：如圖2，

過點作于，于，

∴，

∴，

由旋轉知，，

∴，

∴，

∵點在的平分線上，且，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴；

（2）①補全圖形如圖3.

②上述結論不成立，.

理由：過點作于，于，

∴，

∴，

由旋轉知，，

∴，

∴，

∵點在的平分線上，且，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴.