Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點P是邊AB上的一個動點（不與點A、點B重合），點Q在邊AD上，將△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，使B點與E點重合，A點與F點重合，且P、E、F三點共線．

（1）若點E平分線段PF，則此時AQ的長為多少？
（2）若線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2，則此時AP的長為多少？
（3）在“線段CE”、“線段QF”、“點A”這三者中，是否存在兩個在同一條直線上的情況？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由△CBP和△QAP分別沿PC、PQ折疊，得到△QFP和△PCE，則△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE

∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．

∵EF=EP，

∴AB=AP+PB=FP+PB=EF+EP+PB=3PB．

∵AB=4，

∴PB= ，

∴AP= ．

∵180°=∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=2（∠QPA+∠CPB），

∴∠QPA+∠CPB=90°．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠CPB+∠PCB=90°，

∴∠QPA=∠PCB，

在△QAP和△PBC中，

，

∴△QAP∽△PBC，

∴ ，

∴ ，

∴

（2）

解：由題意，得PF=EP+2或EP=FP+2．

當EP﹣PF=2時，

∵EP=PB，PF=AP，

∴PB﹣AP=2．

∵AP+PB=4，

∴2BP=6，

∴BP=3，

∴AP=1．

當PF﹣EP=2時，

∵EP=PB，PF=AP，

∴AP﹣PB=2．

∵AP+PB=4，

∴2AP=6．

∴AP=3．

故AP的長為1或3．

（3）

解：①若CE與點A在同一直線上，如圖2，連接AC，點E在AC上，

在△AEP和△ABC中，

，

∴△AEP∽△ABC，

∴ ．

設AP=x，則EP=BP=4﹣x，

在Rt△ABC中，

∵AB=4，BC=2，

∴AC=2 ，

∴ ．

解得 ．

②若CE與QF在同一直線上，如圖3，

∵△AQP≌△EQP，△CPB≌△CPE，

∴AP=EP=BP，

∴2AP=4，

∴AP=2．

【解析】（1）做題首先要畫示意圖，如圖．由折疊知，△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，進而可由AB邊的關系知，若E平分FP，則BP= ，AP= ．由已知分析易得CP⊥QP，則△QAP∽△PBC，即由邊之間的成比例得關于AQ的方程，解出即可．（2）由（1）易得EP=BP，FP=AP，PB+AP=10．線段CE與線段QF所在的平行直線之間的距離為2則表示EF=2，但有兩種可能，PF=EP+2或EP=FP+2．于是得到兩個關系式，易得結論．（3）“線段CE”、“線段QF”、“點A”這三者，思考點P運動即折紙特點，QF不能與A共線．當CE與QF共線時，P點恰為AB中點，如圖，兩線段都在CD上．當CE與A共線時，即連接對角線AC，CE在AC上，此時△AEP∽△ABC，進而AP的長易得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等，以及對相似三角形的性質的理解，了解對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形．