Question

4．如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A、B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的距離稱為碟高．

（1）拋物線y=$\frac{1}{2}$x²對應的碟寬為4；拋物線y=4x²對應的碟寬為$\frac{1}{2}$；拋物線y=ax²（a＞0）對應的碟寬為$\frac{2}{a}$；拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）對應的碟寬$\frac{2}{a}$；
（2）若拋物線y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$（a＞0）對應的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；
（3）將拋物線y_n=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的對應準蝶形記為F_n（n=1，2，3，…），定義F₁，F₂，…..F_n為相似準蝶形，相應的碟寬之比即為相似比．若F_n與F_n-1的相似比為$\frac{1}{2}$，且F_n的碟頂是F_n-1的碟寬的中點，現在將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對應的準蝶形記為F₁．
①求拋物線y₂的表達式；
②若F₁的碟高為h₁，F₂的碟高為h₂，…F_n的碟高為h_n．則h_n=$\frac{3}{2n-1}$，F_n的碟寬右端點橫坐標為2+$\frac{3}{2n-1}$；F₁，F₂，…．F_n的碟寬右端點是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達式；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據定義易算出含具體值的拋物線y=$\frac{1}{2}$x²，拋物線y=4x²的碟寬，且都利用端點（第一象限）橫縱坐標相等．推廣至含字母的拋物線y=ax²（a＞0），類似．而拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）為頂點式，可看成y=ax²平移得到，則發現碟寬只和a有關．
（2）根據（1）的結論，根據碟寬易得a的值．
（3）①由y₁，易推y₂．②結合畫圖，易知h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在直線x=2上，但證明需要有一般推廣，可以考慮h_n∥h_n-1，且都過F_n-1的碟寬中點，進而可得．另畫圖時易知碟寬有規律遞減，所以推理也可得右端點的特點．對于“F₁，F₂，…，F_n的碟寬右端點是否在一條直線上？”，如果寫出所有端點規律似乎很難，找規律更難，所以可以考慮基礎的幾個圖形關系，如果相鄰3個點構成的兩條線段不共線，則結論不成立，反則結論成立．求直線方程只需考慮特殊點即可．

解答 解：（1）4；$\frac{1}{2}$；$\frac{2}{a}$；$\frac{2}{a}$．
分析如下：
∵a＞0，
∴y=ax²的圖象大致如下：

其必過原點O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．
∵△OAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，
∴OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$•90°=45°，
∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，
∴AC=OC=BC，
∴x_A=y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，
∴A（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{a}$），C（0，$\frac{1}{a}$），
∴AB=$\frac{2}{a}$，OC=$\frac{1}{a}$，
即y=ax²的碟寬為$\frac{2}{a}$．
①拋物線y=$\frac{1}{2}$x²對應的a=$\frac{1}{2}$，得碟寬$\frac{2}{a}$為4；
②拋物線y=4x²對應的a=4，得碟寬為$\frac{2}{a}$為$\frac{1}{2}$；
③拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$；
④拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）可看成y=ax²向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到的圖形，
∵平移不改變形狀、大小、方向，
∴拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0）的準碟形≌拋物線y=ax²的準碟，
∵拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$，
∴拋物線y=a（x-2）²+3（a＞0），碟寬為$\frac{2}{a}$．

（2）∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$=a（x-2）²-（4a+$\frac{5}{3}$），
∴同（1），其碟寬為$\frac{2}{a}$，
∵y=ax²-4ax-$\frac{5}{3}$的碟寬為6，
∴$\frac{2}{a}$=6，
解得 a=$\frac{1}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$（x-2）²-3．

（3）①∵F₁的碟寬：F₂的碟寬=2：1，
∴$\frac{2}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{{a}_{2}}$，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴a₂=$\frac{2}{3}$．
∵y=$\frac{1}{3}$（x-2）²-3的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），
∴A（-1，0），B（5，0），
∴F₂的碟頂坐標為（2，0），
∴y₂=$\frac{2}{3}$（x-2）²．
②∵F_n的準碟形為等腰直角三角形，
∴F_n的碟寬為2h_n，
∵2h_n：2h_n-1=1：2，
∴h_n=$\frac{1}{2}$h_n-1=（$\frac{1}{2}$）²h_n-2=（$\frac{1}{2}$）³h_n-3=…=（$\frac{1}{2}$）^n-1h₁，
∵h₁=3，
∴h_n=$\frac{3}{2n-1}$．
∵h_n∥h_n-1，且都過F_n-1的碟寬中點，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在一條直線上，
∵h₁在直線x=2上，
∴h₁，h₂，h₃，…，h_n-1，h_n都在直線x=2上，
∴F_n的碟寬右端點橫坐標為2+$\frac{3}{2n-1}$．
另，F₁，F₂，…，F_n的碟寬右端點在一條直線上，直線為y=-x+5．
分析如下：
考慮F_n-2，F_n-1，F_n情形，關系如圖2，

F_n-2，F_n-1，F_n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F，I分別為其碟寬的中點，都在直線x=2上，連接右端點，BE，EH．
∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，
∴AB∥DE∥GH，
∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，
∴四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，
∴HE∥GF，EB∥DC，
∵∠GFI=$\frac{1}{2}$•∠GFH=$\frac{1}{2}$•∠DCE=∠DCF，
∴GF∥DC，
∴HE∥EB，
∵HE，EB都過E點，
∴HE，EB在一條直線上，
∴F_n-2，F_n-1，F_n的碟寬的右端點是在一條直線，
∴F₁，F₂，…，F_n的碟寬的右端點是在一條直線．
∵F₁：y₁=$\frac{1}{3}$（x-2）²-3準碟形右端點坐標為（5，0），
  F₂：y₂=$\frac{2}{3}$（x-2）²準碟形右端點坐標為（2+$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴待定系數可得過兩點的直線為y=-x+5，
∴F₁，F₂，…，F_n的碟寬的右端點是在直線y=-x+5上．
故答案是：（1）4、$\frac{1}{2}$、$\frac{2}{a}$、$\frac{2}{a}$；（2）$\frac{1}{3}$；（3）①y₂=$\frac{2}{3}$（x-2）²；②$\frac{3}{2n-1}$，2+$\frac{3}{2n-1}$，y=-x+5．

點評 本題考查了二次函數綜合題，學生對新知識的學習、理解與應用能力．題目中主要涉及特殊直角三角形，二次函數解析式與圖象性質，多點共線證明等知識，綜合難度較高，學生清晰理解有一定困難．