Question

【題目】在平面上，對于給定的線段AB和點C，若平面上的點P（可以與點C重合）滿足，∠APB＝∠ACB．則稱點P為點C關于直線AB的聯絡點．

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（2，0），B（0，2），C（﹣2，0）．

（1）在P1（2，2），P（1，0），R（1+，1）三個點中，是點O關于線段AB的聯絡點的是　 　．

（2）若點P既是點O關于線段AB的聯絡點，同時又是點B關于線段OA的聯絡點，求點P的橫坐標m的取值范圍；

（3）直線y＝x+b（b＞0）與x軸，y軸分交于點M，N，若在線段BC上存在點N關于線段OM的聯絡點，直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）P1，R．（2）1﹣≤m≤1+；（3）1≤b≤2．

【解析】

（1）根據點P為點C關于直線AB的聯絡點的定義一一判斷即可．

（2）如圖2中，作△AOB的外接圓⊙E，過點E作x軸的平行線交⊙E于G，H．首先說明當點P在優弧上時，點P既是點O關于線段AB的聯絡點，同時又是點B關于線段OA的聯絡點，求出G，H的坐標即可解決問題．

（3）如圖3中，作△MON的外接圓⊙E，作點E關于X軸的對稱點E′，以E′為圓心，OE′為半徑作⊙E′．觀察圖象可知滿足條件的點P在兩個圓的優弧OM上，當⊙E與AB相切時，切點為H，求出點H的坐標即可判斷．

解：（1）如圖1中，

∵A（2，0），B（0，2），P1（2，2），P（1，0），R（1+，1），

∴OA＝OB＝AP1＝BP1，

∴四邊形OAP1B是菱形，

∵∠AOB＝90°，

∴四邊形OAP1B是正方形，

∴∠AP1B＝∠AOB＝90°，

∴P1是點O關于線段AB的聯絡點，

∵AB＝2，取AB的中點E（1，1），

∵ER＝＝BE＝AE，

∴∠ARB＝90°＝∠AOB，

∴點R是點O關于線段AB的聯絡點，

故答案為P1，R．

（2）如圖2中，作△AOB的外接圓⊙E，過點E作x軸的平行線交⊙E于G，H．

∵∠APB＝∠AOB＝90°，∠APO＝∠ABO＝45°，

∴當點P在優弧上時，點P既是點O關于線段AB的聯絡點，同時又是點B關于線段OA的聯絡點，

∵AB＝2，E（1，1），G（1﹣，1），H（1+，1）

∴點P的橫坐標m的取值范圍1﹣≤m≤1+．

（3）如圖3中，作△MON的外接圓⊙E，作點E關于X軸的對稱點E′，以E′為圓心，OE′為半徑作⊙E′．

觀察圖象可知滿足條件的點P在兩個圓的優弧OM上，

當⊙E與AB相切時，切點為H，由題意⊙E的直徑為，

∴MN＝，

∵OM＝ON，∠MON＝90°，

∴ON＝1，此時直線MN的解析式為y＝x+1，

觀察圖象可知：若在線段BC上存在點N關于線段OM的聯絡點，則b的取值范圍為1≤b≤2.