Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，四邊形OABC的頂點A在軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點P，點Q分別是邊BC，邊AB上的點，連結AC，PQ，點B1是點B關于PQ的對稱點．

（1）若四邊形OABC為矩形，如圖1，

①求點B的坐標；

②若BQ：BP=1：2，且點B1落在OA上，求點B1的坐標；

（2）若四邊形OABC為平行四邊形，如圖2，且OC⊥AC，過點B1作B1F∥軸，與對角線AC、邊OC分別交于點E、點F．若B1E： B1F=1：3，點B1的橫坐標為，求點B1的縱坐標，并直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】B（4,2）；（3,0）；≤m≤1+或≤m≤3．

【解析】

根據矩形的性質得出點B的坐標；過點P作PD⊥OA，垂足為點D，點B關于PQ的對稱點為，從而得出△PD∽△QA，即=2則A=1，得出O=3，即得出點的坐標；根據平行四邊形的慈寧宮中得出OA=4，OC=2，OC⊥AC，得出點不與點E，F重合，也不在線段EF的延長線上，然后分點在線段EF的延長線上和點在線段EF（除點E，F）上兩種情況分別進行計算，根據題意得出點的橫坐標為m，根據比值得出G=m，設OG=a，從而得出GF和OF的長度，然后根據線段之間的關系得出a的值，從而求出m的取值范圍．

（1）①∵OA=4，OC=2，
∴點B的坐標為（4，2）；

②如圖1，過點P作PD⊥OA，垂足為點D

∵BQ：BP=1：2

點B關于PQ的對稱點為

∴Q：P=1：2

∵∠PD=∠PQ=∠AQ=90°

∴∠PD=∠QA

∴△PD∽△QA

∴=2

∴A=1 ∴O=3

即點（3,0）．

（2）∵四邊形OABC為平行四邊形 OA=4，OC=2，且OC⊥AC

∴∠OAC=30°

∵E：F=1：3

∴點不與點E，F重合，也不在線段EF的延長線上

①當點在線段EF的延長線上時，如圖2，延長F與y軸交于點G，點的橫坐標為m，F∥x軸

E：F=1：3

∴G=m

設OG=a 則GF=，OF=

∴G=E+EF+FG=（2－）+（4－）+=m

∴a=－

即的縱坐標為－

m的取值范圍是≤m≤1+．

②當點在線段EF（除點E，F）上時，如圖3，延長F與y軸交于點G，點的橫坐標為m

F∥x軸，E：F=1：3 ∴G=m 設OG=a 則 GF=，OF=

∴CF=2－∴FE=4－F=EF=3－a

∴G=F+FG=（3－）a+a=m

∴a=－即點的縱坐標為－

M的取值范圍是≤m≤3