Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-3，0），C（0，-2）
（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）．過點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E．連接PD、PE．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式．試說明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）由題意得

b 2a =1 9a-3b+c=0 c=-2

，
解得

a= 2 3 b= 4 3 c=-2

，
∴此拋物線的解析式為y=

2

3

x²+

4

3

x-2．

（2）連接AC、BC．

因?yàn)锽C的長(zhǎng)度一定，
所以△PBC周長(zhǎng)最小，就是使PC+PB最小．
B點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是A點(diǎn)，AC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．
設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b，
則

-3k+b=0 b=-2

，
解得

k=- 2 3 b=-2

，
∴此直線的表達(dá)式為y=-

2

3

x-2，
把x=-1代入得y=-

4

3

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，-

4

3

）．

（3）S存在最大值，
理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．
∴△OED∽△OAC．
∴

OD

OC

=

OE

OA

，即

2-m

2

=

OE

3

，
∴OE=3-

3

2

m，OA=3，AE=

3

2

m，
∴S=S_△OAC-S_△OED-S_△AEP-S_△PCD
=

1

2

×3×2-

1

2

×（3-

3

2

m）×（2-m）-

1

2

×

3

2

m×

4

3

-

1

2

×m×1
=-

3

4

m²+

3

2

m=-

3

4

（m-1）²+

3

4

∵-

3

4

＜0
∴當(dāng)m=1時(shí)，S最大=

3

4

．