Question

在邊長為4的正方形ABCD中，以點B為圓心，BA為半徑作弧

AC

，F為

AC

上的一動點，過點F作⊙B的切線交AD于點P，交DC于點Q．
（1）求證△DPQ的周長等于正方形ABCD的周長的一半；
（2）分別延長PQ、BC，延長線相交于點M，設AP長為x，BM長為y，試求出y與x之間的函數關系式．

Answer 1

（1）證明：∵正方形ABCD，
∴∠DAB=∠D=∠DCB=90°，
即AB=BC=CD=AD，AB⊥AD，BC⊥CD，
∴DA和CD都是圓B的切線，
∵PQ切圓B于F，
∴AP=PF，QF=CQ，
∴△DPQ的周長是DP+DQ+PQ=DP+DQ+PF+QF=DP+AP+DQ+CQ=AD+CD，
∵正方形ABCD的周長是AD+AB+CD+BC=2AD+2CD，
∴△DPQ的周長等于正方形ABCD的周長的一半．

（2）在Rt△PDQ中，由勾股定理得：DP²+DQ²=PQ²，
∴（4-x）²+（4-CQ）²=（X+CQ）²，
解得：CQ=

16-4x

x+4

，
DQ=4-

16-4x

x+4

=

8x

x+4

，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△PDQ∽△MCQ，
∴

DP

CM

=

DQ

CQ

，
即

4-x

y-4

=

8x x+4

16-4x x+4

，
∴y=

8

x

+

1

2

x，
y與x之間的函數關系式是y=

8

x

+

1

2

x．