Question

16．已知：在△ABC中，D為BC邊上一點，B，C兩點到直線AD的距離相等．
（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，則點D的位置在點D為線段BC的中點；
（2）如圖2，若△ABC是任意一個銳角三角形，猜想點D的位置是否發生變化，請補全圖形并加以證明；
（3）如圖3，當△ABC是直角三角形，∠A=90°，并且點D滿足（2）的位置條件，用等式表示線段AB，AC，AD之間的數量關系并加以證明．

Answer 1

分析 （1）點D為線段BC的中點，根據線段的中點即可解答；
（2）點D的位置沒有發生變化；作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，證明△BED≌△CFD，得到BD=DC．即點D是BC邊的中點；
（3）AB，AC，AD之間的數量關系為AC²+AB²=4AD²．如圖2，延長AD到點H使DH=AD，連接HC．證明△ABD≌△HCD，得到∠1=∠3，AB=CH．再證明∠ACH=90°，得到AC²+CH²=AH²．由DH=AD，得到AC²+AB²=（2AD）²．即可解答．

解答 解：（1）∵點D為BC邊的中點，
∴BD=CD，
故答案為：點D為線段BC的中點；
（2）點D的位置沒有發生變化，
證明：如圖1，作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，

∵BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，
∴∠3=∠4=90°，
在△BED和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠3=∠4}\\{BE=CF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△CFD．
∴BD=DC．即點D是BC邊的中點．
（3）AB，AC，AD之間的數量關系為AC²+AB²=4AD²．
證明：如圖2，延長AD到點H使DH=AD，連接HC．

∵點D是BC邊的中點，
∴BD=DC．
 在△ABD和△HCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠5=∠4}\\{AD=HD}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△HCD．
∴∠1=∠3，AB=CH．
∵∠A=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∴∠2+∠3=90°．
∴∠ACH=90°．
∴AC²+CH²=AH²．
又∵DH=AD，
∴AC²+AB²=（2AD）²．
∴AC²+AB²=4AD²．

點評 本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理、勾股定理的應用，解決本題的關鍵是作出輔助線，構建全等三角形．