Question

如圖，兩個同心圓的圓心為O，兩圓的半徑分別為5，3，其中A，B兩點在大圓上，C，D在小圓上，且∠AOB=∠COD．
（1）求證：AC=BD；
（2）若∠AOB=120°，求線段AC，弧CD，線段BD，弧AB組成的封閉圖形的面積；
（3）若AB與小圓相切，分別求AB，CD的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）8，．

試題分析：（1）如要證明AC=BD，則通過可證明△AOC≌△BOD即可；
（2）由題意可知線段AC，弧CD，線段BD，弧AB組成的封閉圖形的面積，即為扇形AOB的面積，即為△ACO繞O旋轉120度后，AC掃過的面積；
（3）切點為E，連接OE，首先利用勾股定理可求出BE的長，進而求出AB的長，再證明△AOC∽△BOD，利用相似三角形的性質即可求出CD的長．
(1)證明：在△AOC和△BOD中，
∵∠AOB=∠COD
∴∠AOC=∠BOD
∵OA=OB，OC=OD
∴△AOC≌△BOD，
∴ AC=BD．
（2）封閉圖形的面積=×16=．
（3）解：設切點為E，連接OE，

∵AB與小圓相切，
∴OE⊥AB，AB=2BE
由勾股定理得，BE=4，
∴AB=8．
∵∠AOB=∠COD，，
∴△AOC∽△BOD，
∴
∴CD=．