Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分別交AE，AF于M，N．下列結論：①AF⊥BG；②BN=NF；③；④S四邊形CGNF=S四邊形ANGD．其中正確的結論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①③.

【解析】

試題分析：①易證△ABF≌△BCG，即可解題；②易證△BNF∽△BCG，即可求得的值，即可解題；③作EH⊥AF，令AB=3，即可求得MN，BM的值，即可解題；④連接AG，FG，根據③中結論即可求得S四邊形CGNF和S四邊形ANGD，即可解題．

①∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=CD，

∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，

∵在△ABF和△BCG中，，

∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，

∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正確；

②∵在△BNF和△BCG中，，

∴△BNF∽△BCG，∴,∴BN=NF；②錯誤；

③作EH⊥AF，令AB=3，則BF=2，BE=EF=CF=1，

AF=，

∵S△ABF=AFBN=ABBF，∴BN=，NF=BN=，

∴AN=AF﹣NF=，∵E是BF中點，

∴EH是△BFN的中位線，∴EH=，NH=，BN∥EH，

∴AH=，，解得：MN=，

∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，∴,③正確；

④連接AG，FG，根據③中結論，

則NG=BG﹣BN=，∵S四邊形CGNF=S△CFG+S△GNF=CGCF+NFNG=1+，

S四邊形ANGD=S△ANG+S△ADG=ANGN+ADDG=,∴S四邊形CGNF≠S四邊形ANGD，④錯誤；

故答案為 ①③．