Question

如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，BC=2AB．A，B兩點的坐標分別是（-1，0），（0，2），C，D兩點在反比例函數y=

k

x

（k＜0）的圖象上，則k等于______．

Answer 1

設點C坐標為（a，

k

a

），（a＜0），點D的坐標為（x，y），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC與BD的中點坐標相同，
∴（

a-1

2

，

k

2a

）=（

x

2

，

y+2

2

），
則x=a-1，y=

k-2a

a

，
代入y=

k

x

，可得：k=2a-2a² ①；
在Rt△AOB中，AB=

OA2+OB2

=

5

，
∴BC=2AB=2

5

，
故BC²=（0-a）²+（

k

a

-2）²=（2

5

）²，
整理得：a⁴+k²-4ka=16a²，
將①k=2a-2a²，代入后化簡可得：a²=4，
∵a＜0，
∴a=-2，
∴k=-4-8=-12．
故答案為：-12．
方法二：
因為ABCD是平行四邊形，所以點C、D是點A、B分別向左平移a，向上平移b得到的．
故設點C坐標是（-a，2+b），點D坐標是（-1-a，b），（a＞0，b＞0）
根據K的幾何意義，|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|，
整理得2a+ab=b+ab，
解得b=2a．
過點D作x軸垂線，交x軸于H點，在直角三角形ADH中，
由已知易得AD=2

5

，AH=a，DH=b=2a．
AD²=AH²+DH²，即20=a²+4a²，
得a=2．
所以D坐標是（-3，4）
所以|K|=12，由函數圖象在第二象限，
所以k=-12．