Question

如圖，已知一次函數y＝2x＋2的圖象與y軸交于點B，與反比例函數的圖象的一個交點為A(1，m) ．過點B作AB的垂線BD，與反比例函數 (x＞0)的圖象交于點D(n，－2)．

（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直線AB、BD分別交x軸于點C、E，試問在y軸上是否存在一點F，使得△BDF∽△ACE．若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）k₁=4、k₂=－16。
（2）存在符合條件的F坐標為（0，－8）

分析：（1）將A坐標代入一次函數解析式中求出m的值，確定出A的坐標，將A坐標代入反比例函數
中即可求出k₁的值；
過A作AM垂直于y軸，過D作DN垂直于y軸，可得出一對直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△ABM與△BDN相似，由相似得比例，求出DN的長，確定出D的坐標，代入反比例函數 中即可求出k₂的值；
（2）在y軸上存在一個點F，使得△BDF∽△ACE，此時F（0，－8），理由為：由y=2x+2求出C坐標，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE為△BDN的中位線，求出OE的長，進而利用勾股定理求出AE，CE，AC，BD的長，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的長，即可確定出此時F的坐標。
解：（1）將A（1，m）代入一次函數y=2x+2中，得：m=2+2=4，
∴A（1，4）。
將A（1，4）代入反比例解析式得：k₁=4。
過A作AM⊥y軸于點M，過D作DN⊥y軸于點N，

∴∠AMB=∠DNB=90°�！唷螧AM+∠ABM=90°。
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°。∴∠BAM=∠DBN。
∴△ABM∽△BDN。∴，即�！郉N=8。
∴D（8，－2）。
將D坐標代入得：k₂=－16。
（2）存在符合條件的F坐標為（0，－8）。理由如下：
由y=2x+2，求出C坐標為（－1，0）。
∵OB=ON=2，DN=8，∴OE=4。
可得AE=5，CE=5，AC=2，BD=4，∠EBO=∠ACE=∠EAC。
若△BDF∽△ACE，則，即，解得：BF=10。
∴F（0，－8）。
∴存在符合條件的F坐標為（0，－8）。