Question

【題目】如圖，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，過點D作AB的平行線交AO的延長線于點C，連接BC．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果OA，OB（OA＞OB）的長（單位：米）是一元二次方程x2﹣7x+12=0的兩根，求AB的長以及菱形ABCD的面積；
（3）若動點M從A出發，沿AC以2m/S的速度勻速直線運動到點C，動點N從B出發，沿BD以1m/S的速度勻速直線運動到點D，當M運動到C點時運動停止．若M、N同時出發，問出發幾秒鐘后，△MON的面積為 ？

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD

∴∠DAC=∠BAC=∠DCA

∴△ACD是等腰三角形，AD=DC

又∵AB=AD

∴AB=CD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

又∵AB=AD，∴ABCD是菱形

（2）解：解方程x2﹣7x+12=0，得

OA=4，OB=3，

利用勾股定理AB= =5，

S菱形ABCD= AC×BD= ×8×6=24平方米

（3）解：在第（2）問的條件下，設M、N同時出發x秒鐘后，△MON的面積為 ，

當點M在OA上時，x＜2，S△MON= （4﹣2x）（3﹣x）= ；

解得x1= ，x2= （大于2，舍去）；

當點M在OC上且點N在OB上時，2＜x＜3，S△MON= （3﹣x）（2x﹣4）= ，

解得x1=x2= ；

當點M在OC上且點N在OD上時，即3＜x≤4，S△MON= （2x﹣4）（x﹣3）= ；

解得x1= ，x2= （小于3，舍去）．

綜上所述：M，N出發 秒， 秒， 秒鐘后，△MON的面積為

【解析】（1）根據題意，用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”先判定平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形；（2）解方程可得OA、OB的長，用勾股定理可求AB，根據“菱形的面積對應對角線積的一半”計算連線面積；（3）根據點M、N運動過程中與O點的位置關系，分三種情況分別討論．
【考點精析】通過靈活運用等腰三角形的性質和菱形的判定方法，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形即可以解答此題．