Question

【題目】已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發，以2cm/s的速度沿BA勻速移動，當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移動，DE與AC相交于點Q，連接PQ，設移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）．
解答下列問題：

（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？
（2）連接PE，
設四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式，是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由；
（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP=AQ；

∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，

∴∠EQC=45°；

∴∠DEF=∠EQC；

∴CE=CQ；

由題意知：CE=t，BP=2t，

∴CQ=t；

∴AQ=8﹣t；

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；

則AP=10﹣2t；

∴10﹣2t=8﹣t；

解得：t=2；

答：當t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上

（2）

解：如圖1，過P作PM⊥BE，交BE于M，

∴∠BMP=90°；

在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB= ，

∴ = ，

∴PM= ，

∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t，

∴y=S△ABC﹣S△BPE= BCAC﹣ BEPM= 6×8﹣ （6﹣t）× t

= t2﹣ t+24= （t﹣3）2+ ，

∵a= ，

∴拋物線開口向上；

∴當t=3時，y最小= ；

答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為 cm2

（3）

解：假設存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上；

如圖2，

過P作PN⊥AC，交AC于N

∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；

∵∠PAN=∠BAC，

∴△PAN∽△BAC，

∴ ，

∴ ，

∴PN=6﹣ tAN=8﹣ t，

∵NQ=AQ﹣AN，

∴NQ=8﹣t﹣（8﹣ ）= ，

∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一條直線上，

∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；

∵∠FQC=∠PQN，

∴△QCF∽△QNP；

∴ ，∴ = ；

∵0＜t＜4.5，∴ = ；

解得：t=1；

答：當t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．

【解析】（1）因為點A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個線段即可得解；（2）作PM⊥BC，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE即可求解；（3）假設存在符合條件的t值，由相似三角形的性質即可求得．