Question

【題目】幾何學的產生，源于人們對土地面積測量的需要，以面積早就成為人們認識圖形性質與幾何證明的有效工具，可以說幾何學從一開始便與面積結下了不解之緣．我們已經掌握了平行四邊形面積的求法，但是一般四邊形的面積往往不易求得，那么我們能否將其轉化為平行四邊形來求呢？

（1）方法1：如圖①，連接四邊形的對角線，，分別過四邊形的四個頂點作對角線的平行線，所作四條線相交形成四邊形，易證四邊形是平行四邊形．請直接寫出S四邊形ABCD和之間的關系：_______________．

方法2：如圖②，取四邊形四邊的中點，，，，連接，，，，

（2）求證：四邊形是平行四邊形；

（3）請直接寫出S四邊形ABCD與之間的關系：_____________．

方法3：如圖③，取四邊形四邊的中點，，，，連接，交于點．先將四邊形繞點旋轉得到四邊形，易得點，，在同一直線上；再將四邊形繞點旋轉得到四邊形，易得點，，在同一直線上；最后將四邊形沿方向平移，使點與點重合，得到四邊形；

（4）由旋轉、平移可得_________，_________，所以，所以點，，在同一直線上，同理，點，，也在同一點線上，所以我們拼接成的圖形是一個四邊形．

（5）求證：四邊形是平行四邊形．

（注意：請考生在下面2題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分）

（6）應用1：如圖④，在四邊形中，對角線與交于點，，，，則S四邊形ABCD= ．

（7）應用2：如圖⑤，在四邊形中，點，，，分別是，，，的中點，連接，交于點，，，，則S四邊形ABCD=___________

Answer 1

【答案】（1）S四邊形ABCD；（2）見詳解；（3）S四邊形ABCD ；（4）AEO，OEB；（5）見詳解；（6）；（7）

【解析】

（1）先證四邊形AEBO, 四邊形BFCO, 四邊形CGDO, 四邊形DHAO都是平行四邊形,可得S△ABO=S四邊形AEBO, S△BCO=S四邊形BFCO, S△CDO=S四邊形CGDO, SADO=S四邊形DHAO,

即可得出結論；

（2）證明，和，，即可得出結論；

（3）由，可得S四邊形MNHE=S△ABD, S四邊形MNGF=S△CBD，即可得出結論；

（4）有旋轉的定義即可得出結論；

（5）先證，得到，再證，即可得出結論；

（6）應用方法1，過點H作HM⊥EF與點M,再計算即可得出答案；

（7）應用方法3，過點O作OM⊥IK與點M, 再計算即可得出答案.

解：方法一：如圖，

∵EF∥AC∥HD,EH∥DB∥FG,

∴四邊形AEBO, 四邊形BFCO, 四邊形CGDO, 四邊形DHAO都是平行四邊形,

∴S△ABO=S四邊形AEBO, S△BCO=S四邊形BFCO, S△CDO=S四邊形CGDO, SADO=S四邊形DHAO,

∴．

故答案為.

方法二：如圖，連接．

（1），分別為，中點

．．

，分別為，中點

．

，

四邊形為平行四邊形

（2），分別為，中點

．．

∴S四邊形MNHE=S△ABD, S四邊形MNGF=S△CBD,

∴

故答案為.

方法3．（1）有旋轉可知；．

故答案為∠AEO;∠OEB.

（2）證明：有旋轉知．

．

旋轉．

四邊形為平行四邊形

應用1：如圖，應用方法1，過點H作HM⊥EF與點M,

∵，

∴∠AEM=60°, ∠EHM=30°,

∵，，

∴EM=3,EH=6,EF=8,

∴HM==,

∴=EF·HM=24

∴=,

故答案為.

應用2：如圖，應用方法3，過點O作OM⊥IK與點M,

，

∵，

∴∠MIO=60°, ∠IOM=30°,

∵，，

∴IM=3,OI=6,IK=8,

∴OM==,

∴=KI·OM=24

∴S四邊形ABCD=,

故答案為.