Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點，延長BP到點C，使PC=PB，D是AC的中點，連接PD、PO．
（1）求證：△CDP≌△POB；
（2）填空： ①若AB=4，則四邊形AOPD的最大面積為；
②連接OD，當∠PBA的度數為時，四邊形BPDO是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PC=PB，D是AC的中點，

∴DP∥AB，

∴DP= AB，∠CPD=∠PBO，

∵BO= AB，

∴DP=BO，

在△CDP與△POB中，

∴△CDP≌△POB（SAS）；

（2）4；60°
【解析】（2）解：①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積， （4÷2）×（4÷2）
=2×2
=4；②如圖：

∵DP∥AB，DP=BO，
∴四邊形BPDO是平行四邊形，
∵四邊形BPDO是菱形，
∴PB=BO，
∵PO=BO，
∴PB=BO=PO，
∴△PBO是等邊三角形，
∴∠PBA的度數為60°．
故答案為：4；60°．
（1）根據中位線的性質得到DP∥AB，DP= AB，由SAS可證△CDP≌△POB；（2）①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積，依此即可求解；②根據有一組對應邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BPDO是平行四邊形，再根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，以及等邊三角形的判定和性質即可求解．