Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，矩形ABCD關于y軸對稱，點A，D在x軸上，BC交y軸于點F，E是OF的中點，拋物線y=ax2+bx+c經過B，E，C三點，已知點B（﹣2，﹣2），解答下列問題：

（1）填空：a= ， b= ， c= ．
（2）如圖2，這P是上述拋物線上一點，連接PF并延長交拋物線于另外一點Q，PM⊥x軸于M，QN⊥x軸于N．
①求證：PM+QN=PQ；
②若PQ=m，S四邊形PMNQ= m2 ， 求直線PQ對應的一次函數的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）﹣ ；0；﹣1
（2）

解：①設點P（x，﹣ x2﹣1），則PM=|﹣ x2﹣1|= x2+1，

∵點F（0，﹣2），

∴PF=

=

=

=

= x2+1，

∴PM=PF，

同理可得QN=QF，

則PM+QN=PF+QF=PQ；

②由①知，PM+PN=PQ=m，

∵S四邊形PMNQ= m2，即 （PM+PN）×MN= m2，

∴MN= m，

如圖，過點P作PH⊥NQ的延長線于點H，

則PH=MN= m，

∴QH= = = ，

∴kPQ= = = ，

又∵PQ過點F（0，﹣2），

∴直線PQ對應的一次函數的解析式為y﹣（﹣2）= （x﹣0），即y= x﹣2

【解析】解：（1）由題意知點E（0，﹣1），
設拋物線解析式為y=ax2﹣1，
將點B（﹣2，﹣2）代入，得：﹣2=4a﹣1，
解得：a=﹣ ，
∴y=﹣ x2﹣1，
則a=﹣ ，b=0，c=﹣1，
所以答案是：﹣ ，0，﹣1；