Question

【題目】如圖，拋物線經過三點

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上是否存在一點，使的面積等于的面積的一半？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；

（3）點為拋物線上一動點，在軸上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在這樣的點P，此時點P的坐標為或；（3）存在這樣的點，坐標為．

【解析】

（1）先根據點A、B坐標設拋物線的交點式，再將點C的坐標代入求解即可；

（2）先根據三點的坐標求出的面積，再根據拋物線的解析式設點P的坐標，然后根據建立等式，求解即可得；

（3）根據平行四邊形的定義分和兩種情況求解即可．

（1）由可設拋物線的解析式為

將點代入得，解得

則拋物線的解析式為

故拋物線的解析式為；

（2）存在，求解過程如下：

由可得

，是等腰直角三角形，即

如圖，過點P作，交AC于點E，則是等腰直角三角形

設點P的坐標為，由題意得

則

則，解得或

當時，，則點P的坐標為

當時，，則點P的坐標為

綜上，存在這樣的點P，此時點P的坐標為或；

（3）存在，求解過程如下：

由平行四邊形的定義分以下2種情況：

①當時，顯然點與的縱坐標相等

則點與關于對稱軸對稱

，，即，

②當時，顯然點到軸的距離等于點C到軸的距離，即等于3

設

當時，，則點Q的坐標為

當時，，則點Q的坐標為

綜上，存在這樣的點，坐標為．