Question

10．如圖1，已知正方形ABCD邊長為1，點P是AD邊上的一個動點，點A關于直線BP的對稱點是點Q，連結PQ、DQ、CQ、BQ．設AP=x．

（1）BQ+DQ的最小值是$\sqrt{2}$，此時x的值是$\sqrt{2}$-1；
（2）如圖2，若PQ的延長線交CD邊于E，并且∠CQD=90°．
①求證：QE﹦EC；    
②求x的值．
（3）若點P是射線AD上的一個動點，請直接寫出當△CDQ為等腰三角形時x的值．

Answer 1

分析 （1）BQ+DQ為點B到D兩段折線的和．由兩點間線段最短可知，連接DB，若Q點落在BD上，此時和最短，且為$\sqrt{2}$．考慮動點運動，這種情形是存在的，由AP=x，則PD=1-x，PQ=x．又∠PDQ=45°，所以PD=$\sqrt{2}$PQ，即1-x=$\sqrt{2}$x．求解可得x=$\sqrt{2}$-1．
（2）①由已知條件對稱分析，AB=BQ=BC，則∠BCQ=∠BQC，由∠BQE=∠BCE=90°，可得∠EQC=∠ECQ即可．
②通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形PDE，發現PE，DE，PD都可用x來表示，進而易得方程，求解即可．
（3）若△CDQ為等腰三角形，則邊CD比為改等腰三角形的一腰或者底邊．又Q點為A點關于PB的對稱點，則AB=QB，以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，則Q點只能在弧AB上．若CD為腰，以點C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧交點即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為腰）的Q點．若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為底）的Q點．則如圖所示共有三個Q點，那么也共有3個P點．作輔助線，利用直角三角形性質求之即可

解答 解：（1）連接DB，若Q點落在BD上，此時和最短，且為$\sqrt{2}$，
由AP=x，則PD=1-x，PQ=x．
∵∠PDQ=45°，
∴PD=$\sqrt{2}$PQ，即1-x=$\sqrt{2}$x．
∴x=$\sqrt{2}$-1，
故答案為：$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-1
（2）①證明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q點為A點關于BP的對稱點，
∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，
∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC=∠EQB-∠CQB=∠ECB-∠QCB=∠ECQ，
∴EQ=EC．
②解：∵AP=x，AD=1，
∴PD=1-x，PQ=x，CD=1．
在Rt△DQC中，
∵E為CD的中點，
∴DE=QE=CE=$\frac{1}{2}$，
∴PE=PQ+QE=x+$\frac{1}{2}$，
∴$（x+\frac{1}{2}）^{2}=（1-x）^{2}+\frac{1}{4}$，
解得 x=$\frac{1}{3}$．

（3）答：△CDQ為等腰三角形時x的值為2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2+$\sqrt{3}$．
如圖1，

以點B為圓心，以AB的長為半徑畫弧，以點C為圓心，以CD的長為半徑畫弧，兩弧分別交于Q₁，Q₃．
此時△CDQ₁，△CDQ₃都為以CD為腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分線交弧AC于點Q₂，此時△CDQ₂以CD為底的等腰三角形．

①如圖2，連接BQ₁、CQ₁，作PQ₁⊥BQ₁交AD于P，過點Q₁，作EF⊥AD于E，交BC于F．
∵△BCQ₁為等邊三角形，正方形ABCD邊長為1，
∴Q₁F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$Q₁E=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$．
在四邊形ABPQ₁中，
∵∠ABQ₁=30°，
∴∠APQ₁=150°，
∴△PEQ₁為含30°的直角三角形，
∴PE=$\sqrt{3}$Q₁E=$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$．
∵AE=$\frac{1}{2}$，
∴x=AP=AE-PE=2-$\sqrt{3}$．

②如圖3，連接BQ₂，AQ₂，過點Q₂作PG⊥BQ₂，交AD于P，連接BP，過點Q₂作EF⊥CD于E，交AB于F．
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ₂=BQ₂．
∵AB=BQ₂，
∴△ABQ₂為等邊三角形．
在四邊形ABQP中，
∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ₂=60°，
∴∠APE=120°
∴∠EQ₂G=∠DPG=180°-120°=60°，
∴Q2E=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴EG=$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$，
∴DG=DE+GE=$\sqrt{3}$-1，
∴PD=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x=AP=1-PD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

③如圖4，連接BQ₁，CQ₁，BQ₃，CQ₃，過點Q₃作BQ₃⊥PQ₃，交AD的延長線于P，連接BP，過點Q₁，作EF⊥AD于E，此時Q₃在EF上，不妨記Q₃與F重合．
∵△BCQ₁為等邊三角形，△BCQ₃為等邊三角形，BC=1，
∴Q1Q2=$\sqrt{3}$，Q1E=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴EF=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$．
在四邊形ABQ₃P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ₃=150°，
∴∠EPF=30°，
∴EP=$\sqrt{3}$EF=$\frac{2\sqrt{3}+3}{2}$．
∵AE=$\frac{1}{2}$，
∴x=AP=AE+PE=$\sqrt{3}$+2．
綜上所述，△CDQ為等腰三角形時x的值為2-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2+$\sqrt{3}$．

點評 此題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，對稱性，畫出圖形是解本題的關鍵，也是難點，是一道比較難點壓軸題．