Question

【題目】如圖，現有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．

（1）求證：∠APB=∠BPH；

（2）當點P在邊AD上移動時，求證：△PDH的周長是定值；

（3）當BE+CF的長取最小值時，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△PDH的周長是定值為8，理由見解析；（3）2

【解析】試題分析：（1）根據翻折變換的性質得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質得出∠APB=∠PBC即可得出答案；

（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB，證明△EFM≌△BPA，設AP=x，利用折疊的性質和勾股定理的知識用x表示出BE和CF，結合二次函數的性質求出最值．

試題解析：（1）解：如圖1，

∵PE=BE，

∴∠EBP=∠EPB．

又∵∠EPH=∠EBC=90°，

∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．

即∠PBC=∠BPH．

又∵AD∥BC，

∴∠APB=∠PBC．

∴∠APB=∠BPH．

（2）證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，

又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，

在△ABP和△QBP中，

，

∴△ABP≌△QBP（AAS），

∴AP=QP，AB=BQ，

又∵AB=BC，

∴BC=BQ．

又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，

在△BCH和△BQH中，

，

∴△BCH≌△BQH（SAS），

∴CH=QH．

∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

∴△PDH的周長是定值．

（3）解：如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．

又∵EF為折痕，

∴EF⊥BP．

∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，

∴∠EFM=∠ABP．

又∵∠A=∠EMF=90°，

在△EFM和△BPA中，

，

∴△EFM≌△BPA（AAS）．

∴EM=AP．

設AP=x

在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．

解得BE=2+，

∴CF=BE-EM=2+-x，

∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．

當x=2時，BE+CF取最小值，

∴AP=2．