Question

（本小題滿分8分）在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連結EG、CG，如圖（1），易證 EG=CG且EG⊥CG.
（1）將△BEF繞點B逆時針旋轉90°，如圖（2），則線段EG和CG有怎樣的數量關系和
位置關系？請直接寫出你的猜想.
（2）將△BEF繞點B逆時針旋轉180°，如圖（3），則線段EG和CG又有怎樣的數量關系
和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明.

Answer 1

解（1）EG="CG  " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)
（2）EG="CG  " EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)
證明：延長FE交DC延長線于M，連MG
∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°
∴四邊形BEMC是矩形.
∴BE=CM，∠EMC=90°
又∵BE=EF
∴EF=CM
∵∠EMC=90°，FG=DG
∴MG=FD=FG
∵BC="EM" ，BC=CD
∴EM=CD
∵EF=CM
∴FM=DM
∴∠F=45°
又FG=DG
∵∠CMG=∠EMC=45°
∴∠F=∠GMC
∴△GFE≌△GMC
∴EG="CG" ，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)
∵∠FMC=90°，MF=MD， FG="DG"
∴MG⊥FD
∴∠FGE+∠EGM=90°
∴∠MGC+∠EGM=90°
即∠EGC=90°
∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2分)

略