Question

【題目】如圖1，將矩形紙片ABCD沿AC剪開，得到△ABC和△ACD.

(1)將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉∠α，使∠α＝∠BAC，得到圖2所示的△ABC′，過點C′作C′E∥AC，交DC的延長線于點E，試判斷四邊形ACEC′的形狀，并說明理由.

(2)若將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉，使B，A，D在同一條直線上，得到圖3所示的△ABC′，連接CC′，過點A作AF⊥CC′于點F，延長AF至點G，使FG＝AF，連接CG，C′G，試判斷四邊形ACGC′的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)四邊形ACEC′是菱形，理由見解析；(2)四邊形ACGC′是正方形，理由見解析.

【解析】

(1)先證明四邊形ACEC′是平行四邊形，由AC'＝AC，即可得出四邊形ACEC′是菱形；

(2)先證明四邊形ACGC′是平行四邊形，由AC'＝AC，∠C'AC＝90°，得出四邊形ACGC′是正方形.

解：(1)四邊形ACEC′是菱形，理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACD，

由旋轉的性質得：∠BAC＝∠C'AC，AC'＝AC，

∴∠C'AC＝∠ACD，

∴AC'∥DE，

∵C′E∥AC，

∴四邊形ACEC′是平行四邊形，

∵AC'＝AC，

∴四邊形ACEC′是菱形；

(2)四邊形ACGC′是正方形，理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝90°，即∠BAC+∠DAC＝90°，

由旋轉的性質得：AC'＝AC，∠BAC'＝∠BAC，

∴∠BAC'+∠DAC＝90°，

∴∠C'AC＝90°，

∵AF⊥CC′，

∴AF＝C'C＝C'F＝CF，

∵FG＝AF，

∴AF＝C'F＝CF＝FG，

∴四邊形ACGC′是平行四邊形，

∵AC'＝AC，∠C'AC＝90°，

∴四邊形ACGC′是正方形.