Question

【題目】已知，△ABC，AD⊥BD于點D，AE⊥CE于點E，連接DE.

(1)如圖1，若BD，CE分別為△ABC的外角平分線，求證：DE＝(AB+BC+AC).

(2)如圖2，若BD，CE分別為△ABC的內角平分線，(1)中的結論成立嗎？若成立請說明理由；若不成立，請猜想出新的結論并證明；

(3)如圖3，若BD，CE分別為△ABC的一個內角和一個外角的平分線，AB＝8，BC＝10，AC＝7，請直接寫出DE的長為______.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)不成立.DE＝(AB+AC﹣BC)，證明見解析；(3)4.5.

【解析】

(1)根據全等三角形的判定與性質，可得AB與BK，AC與CH的關系，根據等腰三角形的性質，可得AD與DK的關系，AE與EH的關系，根據三角形中位線的性質，可得答案；(2)都是內角平分線時，可根據等腰三角形三線合一的特點來求解，由于DB平分∠ABC，且AD⊥BD，如果延長AD交BC于K，那么三角形ABK就是個等腰三角形，AD＝DK，如果延長AE到H，那么同理可證AG＝GH，AC＝CH，那么DE就是三角形AHK的中位線，DE就是HK的一半，而HK＝BK﹣BH＝BK﹣(BC﹣CH)，由于BK＝AB，CH＝AC，那么可得出DE＝(AB+AC﹣BC)；(3)證法同(1)，先根據題目給出的求法，得出GD是AC的一半，然后按(2)的方法，通過延長AF來得出DF是(BC﹣AB)的一半，由此可得出DE＝(BC+AC﹣AB)，由此即可解決問題.

(1)證明：如圖1，分別延長AE、AD交BC于H、K，

在△BAD和△BKD中，

∵，

∴△BAD≌△BKD(ASA)，

∴AD＝KD，AB＝KB，

同理可證，AE＝HE，AC＝HC，

∴DE＝HK，

又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC，

∴DE＝(AB+AC+BC)；

(2)解：結論不成立.DE＝(AB+AC﹣BC).

理由：如圖2，分別延長AE、AD交BC于H、K，

在△BAD和△BKD中，

∵，

∴△BAD≌△BKD(ASA)，

∴AD＝KD，AB＝KB，

同理可證，AE＝HE，AC＝HC，

∴DE＝HK，

又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC，

∴DE＝(AB+AC﹣BC).

(3)解：分別延長AE、AD交BC或延長線于H、K，

在△BAD和△BKD中，

∵，

∴△BAD≌△BKD(ASA)，

∴AD＝KD，AB＝KB

同理可證，AE＝HE，AC＝HC，

∴DE＝KH

又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB.

∴DE＝(BC+AC﹣AB)，

∵AB＝8，BC＝10，AC＝7，

∴DE＝(10+7﹣8)＝4.5，

故答案為4.5.