Question

【題目】如圖，是的直徑，點、在上且，連接、，過點作交的延長線于點．

求證：是的切線；

若，，求的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）的半徑為．

【解析】

（1）連結OC，由F，C，B三等分半圓，根據圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）連結BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圓得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根據勾股定理求得AB，進而求得⊙O的半徑．

證明：連結，如圖，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴是的切線；

解：連結，如圖，

∵為直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

在中，，

即，

∴，

∴的半徑為．